Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » offene und abgeschlossene Kugel bestimmen

offene und abgeschlossene Kugel bestimmen

Universität / Fachhochschule

Funktionalanalysis

Tags: abgeschlossen, Funktionalanalysis, Kugel, Offen

LuciaSera aktiv_icon

21:30 Uhr, 10.10.2019

Ich habe folgende Aufgabe:

Sei

X \neq \emptyset

mit der ausgearteten Metrik

d (x, y) = 1,

wenn

x \neq y

und

d (x, y) = 0,

wenn

x = y

(a)

Bestimmen Sie die offenen Kugeln

B (φ, r)

und die abgeschlossenen Kugeln

B [φ, r]

für

r > 0

(b)

Bestimmen Sie die offenen Teilmengen von X.

Ich weiß was offene bzw. abgeschlossene Kugeln sind. Ich kenne die Definition und verstehe sie auch. Aber ich verstehe nicht ganz, wie ich diese Kugeln bestimmen soll.

Eine offene Kugel ist ja definiert durch:

B (φ, r) = {ψ \in X : d (φ, ψ) < r} . .

. Mittelpunkt

φ

und Radius

r

.

Eine abgeschlossene Kugel ist ja definiert durch:

B [φ, r] = {ψ \in X : d (φ, ψ) \leq r} . .

. Mittelpunkt

φ

und Radius

r

.

wobei in beiden Fällen

φ \in X

und

r > 0

.

Kann mir bitte wer erklären, was hier genau von mir verlangt wird?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Kugel (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Oberfläche und Volumen von Kugel, Kegel und Zylinder

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

michaL aktiv_icon

21:46 Uhr, 10.10.2019

Hallo,

na, die Kugeln mit "Radius"

0 < r < 1

kannst du doch direkt angeben, egal ob abgeschlossen oder offen.
Und für

r = 1

sollte dir auch klar sein, wie zumindest die abgeschlossenen Kugeln aussehen. Wenn du kurz darüber nachdenkst, fällt dir auch auf, wie die offenen Kugeln mit Radius 1 aussehen.

Abstände größer als 1 können eh nicht vorkommen.

Gibt dir das keinen Hinweis??

Mfg Michael

LuciaSera aktiv_icon

12:46 Uhr, 11.10.2019

Naja klar, wenn ich einen Radius

0 < r < 1

betrachte, dann habe ich für die abgeschlossenen Kugeln:

1) B [x, r] = {y \in X : d (x, y) \leq r}

mit

r >

0(per Definition), wenn

x = y,

denn dann wäre

d (x, y) = 0

und

2) B [x, r] = {y \in X : d (x, y) \leq 1},

wenn

x \neq y,

weil

d (x, y) = 1

.

Für die offenen Kugeln gilt dann:

1) B (x, r) = {y \in X : d (x, y) < r}

mit

r > 0

(per Definition), weil wenn

x = y,

dann ist

d (x, y) = 0

und der Radius

r

muss sowieso immer

> 0

sein. Das heißt hier habe ich bei der abgeschlossenen als auch bei der offenen Kugel eigentlich nur einen Punkt oder nicht?
und

2) B (x, r) = {y \in X : d (x, y) < r}

mit

r > 1,

was aber nicht geht, wenn ich

0 < r < 1

betrachte. Wenn mein Radius

r < 1

ist, dann ist die Strecke von

x

nach

y

aber nicht mehr in meiner Kugel die ich betrachte. Dann wäre dieser Fall der Kugel keine Teilmenge meiner Menge X.

Ist das bis jetzt alles korrekt oder habe ich etwas falsch verstanden?

michaL aktiv_icon

12:51 Uhr, 11.10.2019

Hallo,

> Ist das bis jetzt alles korrekt oder habe ich etwas falsch verstanden?

Alles korrekt (jedenfalls nach sehr oberflächlichem darauf Schauen), aber verstanden hast du leider gar nichts!

Wir müssen wohl mal ein Beispiel machen:
Wir nehmen uns

x

her und betrachten mal

B (x, 1)

, in eurer Notation also die offene Kugel um

x

mit Radius 1.
Welche Elemente liegen in der Kugel außer

x

noch?

Mfg Michael

LuciaSera aktiv_icon

13:10 Uhr, 11.10.2019

Kann es sein, dass dann noch alle Elemente

y \in B (x,1)

enthalten sind, für die gilt, dass es einen Radius

r' > 0

gibt, sodas

B (y, r') \subset B (x,1)

?

Sprich ich suche mir alle Punkte heraus, welche mitsamt ihrem Radius in meine offene Kugel passen?

michaL aktiv_icon

13:59 Uhr, 11.10.2019

Hallo,

du hast leider so gut nie nix verstanden.

Da

0 \leq d (x, y) \leq 1

gilt und

d (x, y) = 0

NUR dann, wenn

x = y

, ist

B (x, 1) = {x}

(ja, entschuldige, jetzt habe ich es verraten, aber die Aufgabe ist derart einfach, dass mir keine weiteren Tipps möglich waren).

Nun können wir das Dutzend auch gleich ganz voll machen:
Es gilt:

B (x, r) = {x}

für

r \leq 1

B [x, r] = {x}

für

r < 1

(beachte den kleinen Unterschied)

B (x, r) = X

für

r > 1

und

B [x, r] = X

für

r \geq 1

Wenn du

d (x, y)

als Wahrheitswert auffasst (kann aj eh nur 0 oder 1, also falsch oder wahr) sein, dann kann man

d

als Ungleichheitsrelation verstehen, d.h.

d (x, y) = 1

(d.h. wahr), gdw

x \neq y

.

Mfg Michael

LuciaSera aktiv_icon

18:30 Uhr, 11.10.2019

Also wäre dann für

0 < r < 1 :

B (x, r) = {x, y}

für

x \neq y

B (x, r) = {x}

für

x = y

B [x, r] = {x, y}

für

x \neq y

B [x, r] = {x, y}

für

x = y

michaL aktiv_icon

20:13 Uhr, 11.10.2019

Hallo,

nein.

Folgendes kannst du einfach abschreiben:

B (x, r) = {\begin{array}{cc} {x}, & 0 < r \leq 1 \\ X, & r > 1 \end{array}

B [x, r] = {\begin{array}{cc} {x}, & 0 \leq r < 1 \\ X, & r \geq 1 \end{array}

Der Vollständigkeit halber:

B (x, 0) = {}

.

Mfg Michael

LuciaSera aktiv_icon

08:34 Uhr, 12.10.2019

Ich möchte ungern etwas einfach nur abschreiben, sondern ich möchte es verstehen. Ansonsten bringt mir das alles nicht viel.

Zu deiner Notation von

<

und

>

bzw

\leq

und

\geq,

habe ich für offene Kugeln doch immer

<

und für geschlossene Kugeln immer

\leq

. Wieso ist das bei dir genau umgekehrt?

Also warum, für die offene Kugel gilt, dass

B (x, r) = {x}, 0 < r < 1

ist mir denke ich klar. Begründung: die Distanz von

x

y

nicht enthalten, da sie

= 1

wäre und dadurch ist

y

nicht mehr in meiner Kugel. Ja oder Nein? Und wenn nein, was ist dann die Begründung?

Und für

B (x, r) = X,

wenn

r \geq 1

wäre meine Begründung, dass die längste Distanz von

x

y

immer nur 1 sein kann. Das heißt wenn ich meinen Radius

\geq 1

wählen kann, dann bin ich für alle Elemente aus

X

immer innerhalb meiner Kugel. Ja oder Nein?

Für

B [x, r] = {x}

wenn

0 < r < 1,

weil selbe Begründung wie für die offene Kugel.

Für

B [x, r] = X,

wenn

r \geq 1,

auch wegen der selben Begründung wie oben.

Also für mich wäre das:

B (x, r) =

{x}, 0 < r < 1

X, r \geq 1

und

B [x, r] =

{x}, 0 < r < 1

X, r \geq 1

Dann hätte ich doch für die offene und abgeschlossene Kugel genau die selben Mengen, mit dem selben Radius also wäre dann doch die offene Kugel gleich der abgeschlossenen oder nicht? Wo liegt dann der Unterschied zwischen diesen beiden? Bis jetzt war ich der Meinung, dass der Unterschied nämlich darin liegt, dass bei einer offenen Kugel die Distanz von

x

y

IMMER innerhalb des Radius liegen muss und bei der abgeschlossenen Kugel, kann

y

aber auch AM Radius/Rand liegen.

LuciaSera aktiv_icon

10:27 Uhr, 12.10.2019

Ahh ich glaube ich habe die Notation jetzt verstanden!

Der Unterschied bei der offenen und der abgeschlossenen Kugel liegt in diesem Beispiel darin, dass ich für die offene Kugel den Radius 1 zwar annehmen kann, aber trotzdem nur sie dann trotzdem nur aus

{x}

besteht, weil

d (x, y) < 1

per Definition ist. Und erst wenn der Radius

> 1

ist, habe ich ganz X.

Und bei der abgeschlossenen Kugel ist es aber so, dass sie nur dann aus

{x}

besteht, wenn der Radius

< 1

ist, denn sobald er

\geq 1

ist, habe ich natürlich wieder

d (x, y) \leq 1

per Definition und damit X.

Ist das so korrekt?

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

1482141

1482042

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?