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partialbruchzerlegung ohne Nullstellen

Universität / Fachhochschule

Integration

Tags: Integration, Partialbruchzerlegung

bunower aktiv_icon

22:00 Uhr, 13.01.2010

hallo liebe community, ich stehe vor dem folgenden problem. ich soll das uneingetnliche integral vom

- \infty

bis

\infty

vom: 1/(x²+2x+2) rechen.
normalerweise kenne ich mit partialbruchzerlegung aus aber hier habe komme ich nicht weiter.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Nullstellen (Mathematischer Grundbegriff)
Vielfachheit einer Nullstelle (Mathematischer Grundbegriff)

bunower aktiv_icon

22:09 Uhr, 13.01.2010

ich habe nun in wikipedia gelesen:
http//de.wikipedia.org/wiki/Integration_durch_Substitution
dass man das per substitution macht und

x = t - 1

substituiret.
nun frage ich mich wie man auf so etwas kommt, hätte ich es in wikipedia nicht gesehen und hätte mir im forum keiner geholfen würde ich nie drauf kommen .

ermanus aktiv_icon

22:11 Uhr, 13.01.2010

Du hast Recht, Partialbruchzerlegung klappt hier nicht,
keine reellen Nullstellen des Nenners vorhanden,
aber quadratische Ergänzung mach Deinen Integranden zu

\frac{1}{{(x + 1)}^{2} + 1} .

Nun substituiere

z = x + 1,

liefert

\frac{1}{z^{2} + 1}

und

d z = d x .

Hierfür findest Du garantiert in Deinen Formeln eine Stammfunktion.
Gruß Hermann

bunower aktiv_icon

20:13 Uhr, 14.01.2010

super ich habe ncoh eine frage, wenn ich als ober und untere grenze

\infty

und

- \infty

habe kann ich dann einfach

lim_{a \to \infty}

laufen lasse laüft dann autamatisch

- a

gegen

- \infty

ermanus aktiv_icon

20:46 Uhr, 14.01.2010

Richtig: wenn

a \to \infty,

dann

- a \to - \infty .

Normalerweise zerlegt man den Integrationsbereich
in einen linken und einen rechten Teil und macht erst
dann separate Grenzübergänge:
Also sei

c \in ℝ,

dann rechnet man

lim_{a \to \infty} \int_{- a}^{c} + lim_{a \to \infty} \int_{c}^{a} .

Zumindest ist das

\int_{- \infty}^{\infty}

so definiert.
In Deinem Falle bekommst Du aber dasselbe Ergebnis
mit

lim_{a \to \infty} \int_{- a}^{a} .

Gruß Hermann

bunower aktiv_icon

20:49 Uhr, 14.01.2010

dankeschön

hagman aktiv_icon

20:50 Uhr, 14.01.2010

Aber Vorsicht:
Man muss wirklich zwei einzelne Grenzübergänge machen, wie ermanus es erwähnte, und nicht beide Grenzen gleichzeitig.
Beispielsweis ist

\int_{- a}^{a} x d x = \frac{1}{a^{2}} - \frac{1}{2} {(- a)}^{2} = 0

für alle

a,

also auch

lim_{a \to \infty} \int_{- a}^{a} x d x = 0

. Triotzdem existiert

\int_{- \infty}^{\infty} x d x

nicht!

bunower aktiv_icon

23:36 Uhr, 14.01.2010

guck euchmal das kurz an und sagt mir ob das ok so ist.
bild 1 habe ich so geteilt wie in bild 2 zu sehen ist.
dann weiss ich nciht ob ich bild 3 oder bild 4 machen muss, oder statt dieses