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rechtwinkliges Dreieck, minimale Hypotenuse

Universität / Fachhochschule

Differentiation

Tags: Extremwertaufgaben, minimale Hypotenuse, Rechtwinkliges Dreieck

siara aktiv_icon

08:35 Uhr, 28.10.2008

Hallo an alle!

meine Frage:

Wie groß müssen die Katheten eines rechtwinkligen Dreiecks mit konstantem Umfang gewählt werden, damit die Hypothenuse möglichst klein wird?

mein Ansatz:

a²+b²=c²

a, b

Katheten,

c

Hypotenuse

a + b + c = u

wobei

u

(=Umfang) eine Konstante.

kann ich noch eine Gleichung aufstellen?
bzw kann ich mir daraus nun eine Funktion für

c

basteln, von der ich dann das Minimum berechnen kann?

vielen Dank schon mal für die Hilfe!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich benötige bitte nur das Ergebnis und keinen längeren Lösungsweg."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Trigonometrie (Mathematischer Grundbegriff)

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

Edddi aktiv_icon

11:07 Uhr, 28.10.2008

Da du nur das Ergebnis wolltest:

c = \frac{U^{2} - 2 \cdot U \cdot a}{2 \cdot (U + a)}

mit

0 < a < \frac{U}{2}

logisch, oder?

fantasma aktiv_icon

11:15 Uhr, 28.10.2008

@Edddi
Aber Du sollst doch über die Katheten etwas aussagen,

d . h

. a und

b

in Abhängigkeit von

U

so angeben, dass

c

minimal wird.

fantasma aktiv_icon

11:29 Uhr, 28.10.2008

Also, ich würd's so machen:

Mit der Pythagoras-Formel eine der beiden Katheten,

z . B

b,

eliminieren:

b = \sqrt{c^{2} - a^{2}}

.
Zusammen mit

a + b + c = U

erhalten wir:

a + \sqrt{c^{2} - a^{2}} + c = U;

\sqrt{c^{2} - a^{2}} = U - a - c

Nun auf beiden Seiten quadrieren, nach

c

umstellen und von der erhaltenen Funktion das Minimum ermitteln (Ableitung nach a usw.). Ist eine etwas lästige Rechnerei, geht aber.
Es müsste dann rauskommen:

a = b = \frac{U}{2} \cdot (2 - \sqrt{2}), c = U (\sqrt{2} - 1

).

Ein eleganterer Lösungsweg fällt mir grad' nicht ein :-)

fantasma aktiv_icon

11:35 Uhr, 28.10.2008

@siara
Edddi kann aufgrund eines Java-Fehlers hier momentan nicht antworten, lässt Dir aber ausrichten, dass er Dir die Lösung per privater Nachricht zukommen hat lassen - also schaue ggf. mal in Deinem Postfach nach :-)
Nun hast Du also 2 Lösungen und kommst hoffentlich gut damit zurecht!

Edddi aktiv_icon

11:46 Uhr, 28.10.2008

...so, mein JAVA geht jetzt wieder...

Es war nach einer Funktion für

c

gesucht, wovon man das Minimum berechnen kann.
Mit der angegebenen Funktion (über die Ableitung) kannst du ein a ermitteln, für das

c

minimal wird.

c = f (a)

und

c' (a) = 0

Für das ermittelte a kannst du dann

c

berechnen, und natürlich auch

b

Fantasma hat dir natürlich fantastisch weitergeholfen...

Viele Grüße

siara aktiv_icon

22:53 Uhr, 28.10.2008

Super, ihr seid toll!
Danke!

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