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reelle Nullstellen

Universität / Fachhochschule

Differentiation

Funktionen

Tags: Differentiation, Funktion

anonymous

18:47 Uhr, 01.01.2010

hallo leute brauche eure hilfe bei einer aufgabe

sie lautet :

Beweise, dass ein Polynom

p (x) = \sum_{k = 0}^{n} a_{k} \cdot x^{k}

vom Grad

n \geq 1, d . h

. mit

a_{n}

ungleich

0,

höchstens

n

reelle Nullstellen besitzen kann.

man muss das ganze mit hilfe des Mittelwertsatzes beweisen zwar weiß ich wie der Satz lautet jedoch kann ich nicht ihn anwenden bei diesem Beweis

ich hoffe ihr könnt mir helfen
und danke schon mal

grüß nana

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)
Nullstellen (Mathematischer Grundbegriff)
Vielfachheit einer Nullstelle (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Einführung Funktionen

ermanus aktiv_icon

21:10 Uhr, 01.01.2010

Wenn das Polynom mehr als

n

Nullstellen hätte,
hätte nach dem Satz von Rolle (Mittelwertsatz mit

f (a) = f (b) = 0)

die Ableitung zwischen je zweien diese Nullstellen jeweils eine Nulstelle,

d . h

. insgesamt mehr als

n - 1

Nullstellen. Die Ableitung hat aber einen Grad, der

max

n - 1

ist. Jetzt argumentierst Du mit dem Satz von Rolle und den mehr als

n - 1

Nullstellen von

f'

weiter,

...

Schließlich kommst Du bei der n-ten Ableitung von

f

an. Die hat ja den Grad 0
und hätte dann aber mehr als

0,

also mindestens eine Nullstelle, wäre also als Konstante (Grad

0) = 0

. Dann wäre aber die (n-1)-te Ableitung eine Konstante
und hieraus ergäbe sich, dass das Ausgangspolynom nicht den Grand

n

gehabt hätte

\Rightarrow

Widerspruch.

So oder so ähnlich kannst Du argumentieren. Geht bestimmt noch eleganter !

Gruß
Hermann

anonymous

22:58 Uhr, 01.01.2010

hallo hab noch ne frage
wie argumentiert man denn nun mit dem Satz von Rolle und den mehr als

n - 1

Nullstellen von

f'

weiter,

. .

.

ich verstehe nicht was das bedeuten soll

könnt ihr mir da weiter helfen

danke schon mal

Mfg nana

ermanus aktiv_icon

23:20 Uhr, 01.01.2010

Also, vielleicht hilft Dir ein kleines Beispiel:

Nimm mal an

a \cdot x^{2} + b \cdot x + c

mit

a \neq 0

hätte mehr als 2 verschiedene Nullstellen.
Dann hätte es mindestens 3 Nullstellen

x_{1} < x_{2} < x_{3} .

es wäre also

f (x_{1}) = f (x_{2}) = 0

und

f (x_{2}) = f (x_{3}) = 0 .

D . h

. mit

x_{1}

und

x_{2}

würde aus dem Satz von Rolle folgen, dass es ein

z_{1}

gibt mit

x_{1} < z_{1} < x_{2}

mit

f' (z_{1}) = 0 .

Entsprechend mit

x_{2}

und

x_{3}

bekommt man nach Rolle ein

z_{2}

mit

x_{2} < z_{2} < x_{3}

mit

f' (z_{2}) = 0 .

z_{1}

und

z_{2}

sind dann 2 verschiedene Nullstellen von

f' .

Nun ist

f' (x) = 2 \cdot a \cdot x + b

. Hat nun also den Grad 1 aber wieder mehr als

1,

nämlich mindestens

2,

Nullstellen

z_{1} < z_{2} .

Es ist also

f' (z_{1}) = f' (z_{2}) = 0

. Und nach dem Satz von
Rolle muss es also ein

w

geben mit

(f')' (w) = 0

und

z_{1} < w < z_{2} .

Nun ist aber

(f')' = f'' = 2 \cdot a

. Wenn nun

f'' (w) = 0

sein soll, muss also

a = 0

sein. Dann war aber

f

gar nicht von Grad

2,

wie ursprünglich angenommen.

Vielleicht kannst Du es Dir jetzt besser vorstellen.

Gruß
Hermann

anonymous

18:31 Uhr, 02.01.2010

danke hat mit gut geholfen

!!!

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