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semidirektes Produkt: inverses Element

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Tags: Gruppen, inverses element, produkt, semidirekt

 
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flowerpower1234

flowerpower1234 aktiv_icon

15:40 Uhr, 16.04.2014

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Hallo zusammen!

Ich habe eine Verständnisfrage zum semidirekten Produkt. Das semidirekte Produkt bildet ja mit seiner Verknüpfung eine Gruppe. Dementsprechend können auch die Gruppenaxiome nachgewiesen werden (Assoziativität, inverses Element, neutrales Element).

Im Anhang ist ein Beweis für das inverse Element, denn ich an den gelb markierten Stellen nicht nachvollziehen kann. Mir ist klar, dass φ(hi) ein Automorphismus, also ein Homomorphismus von H2 ist und sicherlich hat die Umformung auch mit dieser Bedingung zu tun, aber ich blick trotzdem nicht ganz durch wie die Umformungen zu erklären sind.

Könnte mir da vielleicht jemand eine kurze Erklärung zu geben?

Danke schon mal im Voraus!

Grüsse flowerpower

semidirektes Produkt

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
Hierzu passend bei OnlineMathe:
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DrBoogie

DrBoogie aktiv_icon

17:51 Uhr, 16.04.2014

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Damit alles übersichtlicher wird, benennen wir für den Moment φ(h2)-1 einfach in ψ. Da ψ ein Homomorphismus ist, gilt ψ(e1)=e1 und ψ(h1-1h1)=ψ(h1-1)ψ(h1), dass sind beides Eigenschaften von Homomorphismen.
Also gilt ψ(h1-1)ψ(h1)=ψ(h1-1h1)=ψ(e1)=e1.
Gut, und jetzt schreiben wir statt ψ wieder φ(h2)-1:
φ(h2)-1(h1-1)φ(h2)-1(h1)=φ(h2)-1(h1-1h1)=φ(h2)-1(e1)=e1.
Frage beantwortet
flowerpower1234

flowerpower1234 aktiv_icon

22:51 Uhr, 26.04.2014

Antworten
Danke dir! Die Frage hat sich jetzt geklärt!