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Skalarprodukt, Integral über Intervall = Beweise

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barracuda317 aktiv_icon

16:02 Uhr, 15.08.2012

Es seien

a, b \in ℝ

mit

a < b

und

f : [a, b] \to ℝ

stetig. Beweisen Sie die folgenden Aussagen:

(a) Ist

f (x_{0}) > 0

für ein

x_{0} \in [a, b]

, so gibt es ein nichtleeres Intervall

I \subseteq [a, b]

mit

x_{0} \in I

und

f (y) > \frac{f (x_{0})}{2}

für alle

y \in I

(b) Ist

\int_{a}^{b} f (x)^{2} d x = 0

, so ist f konstant Null.

(c) Durch

(f ∣ g) := \int_{a}^{b} f (x) g (x) d x, f, g \in C ([a, b]),

ist auf dem

ℝ

-Vektorraum C([a,b]) ein Skalarprodukt gegeben, d.h. es gilt:

(i)

\forall f \in C ([a, b]) : (f ∣ f) \geq 0

und

((f ∣ f) = 0 \Rightarrow f = 0)

(ii)

\forall f, g \in C ([a, b]) : (f ∣ g) = (g ∣ f)

(iii)

\forall f, g, h \in C ([a, b]) \forall α, β \in ℝ : (α f + β g ∣ h) = α (f ∣ h) + β (g ∣ h)

Hinweis:

Bearbeiten Sie die Aufgabe in der Reihenfolge (c), (b), (a), wobei Sie jeweils annehmen, dass die vorhergehende Teile schon gezeigt sind.

--------------------
(c)

Es ist

f (x)^{2} \geq 0

für alle

x \in ℝ

Sei nun

g (x) = 0

für alle

x \in ℝ

Wegen der Monotonie Eigenschaft folgt dann, dass

\int_{a}^{b} g (x) d x = 0 \geq \int_{a}^{b} f (x) d x

. (Siehe anderer Thread).

Sei nun

x \neq 0

, so ist

f (x)^{2} > 0

und damit auch

\int_{a}^{b} f (x)^{2} d x > 0

(wieder wegen Monotonie). Damit muss für

(f ∣ f) = 0

auch

f (x) = 0

sein

(ii) folgt aus der Kommutatativität der Multiplikation im Integral.

Es ist also:

f (x) g (x) = g (x) f (x)

Und damit auch:

\int_{a}^{b} f (x) g (x) d x = \int_{a}^{b} g (x) f (x) d x

(iii)

Es ist:

(α f + β g ∣ h) = \int_{a}^{b} (α f (x) + β g (x)) h (x) d x = \int_{a}^{b} α f (x) h (x) + β g (x) h (x) d x

= \int_{a}^{b} α f (x) h (x) + \int_{a}^{b} β g (x) h (x) d x = α \int_{a}^{b} f (x) h (x) + β \int_{a}^{b} g (x) h (x) d x = α (f ∣ h) + β (g ∣ h)

(b) Folgt aus

(f ∣ f) = 0 \Rightarrow f = 0

(a) Hier fehlt mir leider gerade die Idee. Hat das was mit der Stetigkeit zu tun (kleine Umgebung um x_0 mit geringen Abweichungen?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)
Flächenberechnung durch Integrieren
Stammfunktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Einführung Funktionen

hagman aktiv_icon

18:03 Uhr, 15.08.2012

Ich finde die Aufgabenstellung mt der Bearbeitungsrichtung

c, b, a

etwas merkwürdig, da doch eher

(a)

für

(b)

und

(b)

für

(c)

gebraucht wird!?

(a)

ist ziemlich klar: Für

ε := \frac{1}{2} f (x_{0})

gibt es ein

δ

mit

| f (x) - f (x_{0}) | < ε

für alle

x

mit

| x - x_{0} | < δ

(b)

Wie du richtig bemerkst, folgt für

a \leq b

aus der Monotonie

\int_{a}^{b} f^{2} d x \geq \int_{a}^{b} 0 d x = 0

.
Man braucht aber

(a) :

Falls

f \neq 0,

so gibt es ein

I

mit

{f (x)}^{2} > \frac{1}{2} {f (x_{0})}^{2}

für alle

x \in I

. Setze

g (x) = \frac{1}{2} {f (x_{0})}^{2}

für

x \in I

und

g (x) = 0

sonst. Per Monotonie folgt

\int_{a}^{b} {f (x)}^{2} d x \geq \int_{a}^{b} g (x) d x =

\int_I

\frac{1}{2} {f (x_{0})}^{2} d x = \frac{1}{2} {f (x_{0})}^{2} \cdot | I | > 0

.

(c)

(i) 〈 f | f 〉 \geq 0

folgt wie du zeigst,

〈 f | f | 〉 = 0 \Rightarrow f = 0

ist die Aussage

(b)

Wenn man nicht

(b)

verwenden will, muss man tatsächlich genau den Beweis von

(b)

nachholen. Das ist es halt, was die Reihenfolge

c, b, a

so seltsam erscheinen lässt.
(ii) und (iii) hast du genau richtig gezeigt.

-

Wie man

(a)

aus

(c)

(was ja

(b)

umfasst) schließen will, ohne doch direkt mi der Stetigkeit zu argumentieren, ist mir schleierhaft. Man bräuchte ja so etwas wie ein Dichtheitsargument, was aber nicht einfach so aus "Skalarprodukt" folgt

. .

barracuda317 aktiv_icon

10:37 Uhr, 24.08.2012

Die Aufgabe wurde heut vorgerechnet. Die Reihenfolge wurde auch von der Dozentin moniert. Die Begründung war, dass die a) wohl als "am schwersten" angesehen wurde.

Der Lösungsweg entsprach in etwa deinem

1022307

1021240

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