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stetige Funktion, offenes Intervall,streng monoton

Universität / Fachhochschule

Stetigkeit

Tags: offenes Intervall, Stetigkeit, streng monoton

 
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Seraph28816

Seraph28816 aktiv_icon

00:47 Uhr, 16.01.2018

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Hey, ich knobel schon eine Weile an dieser Aufgabe und finde keinen roten Faden. Die Behauptung lautet:
"Eine stetige Funktion f:R→R, die jedes offene Intervall auf ein offenes Intervall abbildet, ist streng monoton."
Diese soll bewiesen bzw. widerlegt werden.
Bin für jede Hilfe dankbar.
Hierzu passend bei OnlineMathe:
Stetigkeit (Mathematischer Grundbegriff)
Monotonieverhalten (Mathematischer Grundbegriff)
Online-Nachhilfe in Mathematik
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Bummerang

Bummerang

10:22 Uhr, 16.01.2018

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Edit

Da hatte ich nicht genau genug gelesen. Soll ja jedes offene Intervall sein.
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DrBoogie

DrBoogie aktiv_icon

13:30 Uhr, 16.01.2018

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Ich habe nur einen relativ aufwendigen Beweis.

Die Funktion, welche jedes offene Intervall auf ein offenes Intervall abbildet, nennt man normalerweise offen, das werde ich nutzen.


0. Wenn f konstant auf einem Intervall (a,b) ist, so ist f(a,b) ein Punkt, damit ist f nicht offen. Also wir können voraussetzen, dass f auf keinem Intervall (a,b) konstant ist.

1. Sei N beliebig. f ist stetig auf [-N,N], hat deshalb dort ein Maximum Ma und ein Minimum Mi. Wenn ein x in (-N,N) existieren würde, so dass f(x)=Ma, so wäre f(-N,N) von der Form {,Ma], also nicht offen. Genauso, Wenn ein x in (-N,N) existieren würde, so dass f(x)=Mi, so wäre f(-N,N) von der Form [Mi,}, also wieder nicht offen. Das kann nicht sein, denn f ist nach Voraussetzung offen. Damit nimmt f das Maximum und das Minimum auf [-N,N] in den Randpunkten -N und N.

2. Wenn für ein N0>0 gilt f(N0)=max[-N0,N0]f(x), so gilt es für alle N>0 (also wenn Maximum einmal im rechten Rand erreicht wird, wird es immer im rechten Rand erreicht).
Beweis. g(N):=max[-N,N]f(x). Da f stetig, ist auch g stetig. Gäbe es ein N<N0, so dass f(-N)=max[-N,N]f(x), würde ein N1:=sup{N<N0:f(-N)=max[-N,N]f(x)} existieren. Wegen Stetigkeit von g gilt dann einerseits g(N1)=f(-N1) (Grenzwert von unten) und andererseits g(N1)=f(N1) (Grenzwert von oben). Damit f(N1)=g(N1) und Funktion ist konstant auf (-N1,N1) - Widerspruch zum Punkt 0. Genauso zeigt man den Widerspruch im Fall N>N0. Beweis fertig.

Daraus folgt: wenn Maximum einmal im linken Rand erreicht wird, wird es immer im linken Rand erreicht.

3. Wenn Maximum immer im rechten Rand erreicht wird, so gilt für alle a<b:
f(a)≤max[-b,b]f(x)=f(b). Und f(a)=f(b) kann nicht sein wegen dem Punkt 0. Also, f ist monoton wachsend.
Wenn Maximum immer im linken Rand erreicht wird, ist f monoton fallend - analog.
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