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streng monoton steigende Folge Beweisen

Universität / Fachhochschule

21:13 Uhr, 24.11.2010

Hallo Leute,

habe eine Frage bezüglich dieser Aufgabe.

Zeigen Sie, dass die Zahlenfolge (an)n

\in N

mit

a 1 := - 2 + \sqrt{2};

an+1

:= - 2 + \sqrt{}

(4+an) für

n \in N

eine streng monoton wachsende Nullfolge ist.

Und zwar weiß ich das die Definition für streng monoton wachsende folgen an

<

an+1 lautet.
Da ich aber ein

a 1

und an+1 habe, weiß ich nicht wie ich anfangen soll...

Danke schonmal im vorraus :-)

Mit freundlichen Grüßen

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Monotonieverhalten (Mathematischer Grundbegriff)

21:24 Uhr, 24.11.2010

Hi,

Deine Def von

a_{n + 1}

kann nicht passen weil

- 2 + \sqrt{4} + a_{n} = a_{n}

21:26 Uhr, 24.11.2010

Also das das "+an" kommt auch noch unter die wurzel, wusste leider nicht wie das geht..aber ansonsten steht es haargenau da..

21:52 Uhr, 26.11.2010

a_{1} = - 2 + \sqrt{2} \approx - 0,59

und

a_{n + 1} = - 2 + \sqrt{4 + a_{n}}

a_{2} = - 2 + \sqrt{4 - 2 + \sqrt{2}} = - 2 + \sqrt{2 + \sqrt{2}} \approx - 0,15

Annahme:

(a_{n})

ist monoton steigend
Beweis durch vollständige Induktion
Induktionsanfang:

a_{2} > a_{1}

ist erfüllt (siehe oben)
Induktionsannahme:

a_{n + 1} > a_{n}

gelte für ein beliebiges

n \in ℕ

Induktionsbehauptung: Dann gilt auch

a_{n + 2} > a_{n + 1}

Induktionsbeweis:

a_{n + 1} > a_{n}

4 + a_{n + 1} > 4 + a_{n}

\sqrt{4 + a_{n + 1}} > \sqrt{4 + a_{n}}

- 2 + \sqrt{4 + a_{n + 1}} > - 2 + \sqrt{4 + a_{n}}

a_{n + 2} > a_{n + 1}

Annahme:

\forall n \in ℕ : a_{n} \leq 0

Beweis durch vollständige Induktion
Induktionsanfang:

a_{1} \leq 0

ist erfüllt (siehe oben)
Induktionsannahme:

a_{n} \leq 0

gelte für ein beliebiges

n \in ℕ

Induktionsbehauptung: Dann gilt auch

a_{n + 1} \leq 0

Induktionsbeweis:

a_{n} \leq 0

a_{n} + 4 \leq 4

\sqrt{a_{n} + 4} \leq 2

- 2 + \sqrt{a_{n} + 4} \leq 0

a_{n + 1} \leq 0

Wegen der steigenden Monotonie ist die Folge auf jeden Fall nach unten beschränkt mit

a_{n} \geq a_{1}

also insgesamt beschränkt durch:

- 2 + \sqrt{2} \leq a_{n} \leq 0

Da die Folge montoton und beschränkt ist, muss sie einen Grenzwert haben. Dieser berechnet sich wegen

lim_{n \to \infty} a_{n} = lim_{n \to \infty} a_{n + 1} = g

wiefolgt:

g = - 2 + \sqrt{4 + g} \Rightarrow g = 0

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