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tan(x/2) und tan(x) in einer Gleichung

Universität / Fachhochschule

Tags: Lösen einer Gleichung, tan, trigometrische formeln, Trigonometrie, Trigonometrische Gleichung

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09:40 Uhr, 17.08.2017

Hallo zusammen,

ich habe folgende Gleichung vorliegen:

(\frac{80}{tan (x)}) - 65 = \frac{15}{tan (\frac{x}{2})}

Gibt es einen Kniff, wie man die Gleichung nach

x

auflösen kann?
Ich bekomme es einfach nicht hin.

Vielen Dank für die Hilfe.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Sinus (Mathematischer Grundbegriff)
Kosinus (Mathematischer Grundbegriff)
Trigonometrie (Mathematischer Grundbegriff)
Tangens (Mathematischer Grundbegriff)
Rechenregeln Trigonometrie

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Definition von Sinus, Kosinus und Tangens

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10:30 Uhr, 17.08.2017

Verwende:

tan x = \frac{sin x}{cos x}

tan (\frac{x}{2}) = \frac{1 - cos (x)}{sin (x)} = \frac{sin (x)}{1 + cos (x)}

http//www.arndt-bruenner.de/mathe/Allgemein/trigsimpl.htm

Roman-22

12:16 Uhr, 17.08.2017

Es gibt, wie so oft bei goniometrischen Gleichungen, viele unterschiedliche Ansätze.
Eine Möglichkeit ist, die Beziehung

tan (x) = \frac{2 \cdot tan (\frac{x}{2})}{1 - {tan}^{2} (\frac{x}{2})}

zu nutzen.
Das führt dann auf eine quadratische Gleichung in

tan (\frac{x}{2})

und letztlich auf

x = 2 \cdot a r c t a n (\frac{- 13 \pm \sqrt{329}}{16}) + k \cdot 2 π m i t k \in ℤ

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15:35 Uhr, 17.08.2017

Danke erst mal für die Antworten. Das heisst erst mal für mich, dass es kein eindeutiges Ergebnis für diese Aufgabe gibt.
Diese Gleichung ist aus einem geometrischem Problem enstanden, das zeichnerisch sehr einfach aber rechnerisch doch etwas kniffelig ist.

Ich stelle die Grundaufgabe mal als Zeichnung dazu. Vielleicht hat jemand eine Idee wie dies einfach zu lösen ist.

Roman-22

15:56 Uhr, 17.08.2017

Zunächst mal - die Gleichung die du angegeben hast, löst deine Aufgabe tatsächlich. Da ist kein Fehler drin.

>

Das heisst erst mal für mich, dass es kein eindeutiges Ergebnis für diese Aufgabe gibt.
Deine Gleichung hat unendlich viele Lösungen, gerundet und im Gradmaß angegeben sind das die Lösungen 35,6° und 234,4° (die Ergänzung auf 270° bzw. -90°). Und zu beiden Werten, kann man noch beliebige Vielfache von 360° addieren oder subtrahieren.

Für deine Aufgabe ist die Lösung aber eindeutig, denn die Geometrie schränkt die Lösung ja zumindest auf den Bereich von -90° bis 90° ein.

[

Negative Winkel würden sich einstellen, wenn Der Abrundungsradius

(15)

größer als die Höhe

(80)

wird.

]

Somit ist

x = 2 \cdot a r c t a n (\frac{\sqrt{329} - 13}{16}) \approx {35,60856455}^{\circ}

die (einzige) Lösung für deine Aufgabe.

P . S . :

Ein einfacherer Weg, deine Aufgabe zu lösen, fällt mir jetzt auch nicht ein.

abakus

17:04 Uhr, 17.08.2017

"Ein einfacherer Weg, deine Aufgabe zu lösen, fällt mir jetzt auch nicht ein."

Man kann schrittweise vorgehen, indem man zunächt mit dem Pythagoras einige Längen berechnet (siehe erste Abbildung).
Dann berechnet man die Länge x in der zweiten Abbildung mit

(x + 65) ² + 80 ² = (\sqrt{4450} + x) ²

.
Mit diesem x erhält man tan

α

=80/(x+65).

Roman-22

17:25 Uhr, 17.08.2017

Nicht ganz - deine

4450

(?) sollten

8225

sein.
Ansonsten passt dein Ansatz aber und führt auch auf den Winkel

a r c t a n \frac{169 - 3 \cdot \sqrt{329}}{160} \approx {35,608564552}^{\circ}

Da man bei deinem Lösungsweg im Endeffekt keine quadratische Gleichung zu lösen hat (die

x^{2}

heben sich auf) und man auch keine trickreichen speziellen Additionstheoreme wie eben

tan (2 α) = . .

. benötigt, würde ich auch meinen, dass dein Ansatz der einfachere ist.

abakus

22:41 Uhr, 17.08.2017

Hallo Roman,
du hast recht. Ich hatte nur die 65 quadriert und dabei das Quadrat von Wurzel aus 2 vergessen...
Und zu allem Unglück habe ich 15² addiert, was ich hätte subtrahieren müssen.
Manchmal ist ein Blatt Papier hilfreich (statt alles im Kopf zu versuchen).
Danke für die Korrektur.

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08:23 Uhr, 18.08.2017

Danke für die Lösungsvorschläge.
@ Roman-22
Auf die 35° sind wir auch schon gekommen aber wenn man die Aufgabenstellung Zeichnerisch löst, (Im Bild mit CAD gelöst) dann bekommt man 42° heraus. Daher kann dieser Weg nicht korrekt sein.

Die Aufgabe hat es echt in sich, dabei sieht es so einfach aus :-D)

Roman-22

09:48 Uhr, 18.08.2017

Der Unterschied liegt darin, dass in deiner neuen Zeichnung das Maß

65

eine andere Länge bezeichnet. Das, was in deiner ersten Zeichnung mit

65

bemaßt war (vom Berührpunkt bis zur rechten unteren Ecke), hat nun nur mehr die Länge

50

. Klar, dass der Winkel dann größer wird, nämlich

a r c t a n \frac{130 - 6 \cdot \sqrt{65}}{91} \approx {41,89191466}^{\circ}

oder

2 \cdot a r c t a n \frac{\sqrt{65} - 5}{8} \approx {41,89191466}^{\circ},

je nachdem, ob du es mit dem Ansatz von Gast62 oder deinem ursprünglichen Ansatz rechnest.

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08:07 Uhr, 21.08.2017

Ja, du hast Recht. Das war ein dummer Fehler. Also klappt die Formel ja doch, das freut mich sehr. Kannst du mir vielleicht die Gleichung mit Variabeln anstatt von Zahlenwerten geben? Ich muss das für verschiedene Maße ausrechnen können aber bei dem Umstellen der Formel tue ich mich sehr schwer.

Roman-22

12:48 Uhr, 21.08.2017

Mit meinem ursprünglichen Ansatz ergibt sich

φ (r, d, h) = 2 \cdot a r c t a n \frac{- d + \sqrt{d^{2} + h^{2} - 2 r h}}{h}

Mit dem Ansatz von Gast erhältst du

φ (r, d, h) = a r c t a n \frac{d \cdot (h - r) - r \cdot \sqrt{d^{2} + h^{2} - 2 r h}}{d^{2} - r^{2}}

Die Formeln sind gleichwertig und ergeben eben zB

φ (15,65,80) \approx {35,609}^{\circ}

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14:48 Uhr, 21.08.2017

Vielen Dank für deine tolle und schnelle Hilfe :-)

Damit sind alle offenen Fragen beantwortet.

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14:48 Uhr, 21.08.2017

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Damit sind alle offenen Fragen beantwortet.

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