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unbestimmtes Integral lösen???

Universität / Fachhochschule

Integration

Tags: Integration

Sahra0 aktiv_icon

18:48 Uhr, 02.08.2020

Hi,

ich komm nicht weiter und benötige Hilfe. Es geht um dieses einfache unbestimmte Integral

∫ 7x/((4+2x^2)(4+x^2)) dx

Meine Überlegung:

Erst einmal ausmult. .

∫ 7x/((16+12x^2+x^4)) dx =

dann ausklammern..

∫ 7x/(2(8+6x^2+x^4)) dx =

Ab hier weiß ich nicht weiter...

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Flächenberechnung durch Integrieren
Stammfunktion (Mathematischer Grundbegriff)

pwmeyer aktiv_icon

18:55 Uhr, 02.08.2020

Hallo,

es handelt sich um eine rationale Funktion, wobei der Zählergrad kleiner als der Nennergrad ist. Hier führt man zunächst eine Partialbruchzerlegung durch.

Gruß pwm

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19:00 Uhr, 02.08.2020

Okey, danke. Ich versuch mal so vorzugehen....

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19:00 Uhr, 02.08.2020

Okey, danke. Ich versuch mal so vorzugehen....

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19:00 Uhr, 02.08.2020

Okey, danke. Ich versuch mal so vorzugehen....

Atlantik aktiv_icon

19:23 Uhr, 02.08.2020

"∫

7 \frac{x}{(4 + 2 x^{2}) (4 + x^{2})}

dx"

- >

\to \int \frac{7 x}{(4 + 2 x^{2}) \cdot (4 + x^{2})} \cdot d x

mfG

Atlantik

B I L D :

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21:31 Uhr, 02.08.2020

Ich habe versucht die Partialbruchzerlegung durchzuführen, aber es lässt sich keine Nullstelle erraten. Woran liegt das?

Die Potenzen sind alle gerade:

x^4 + 3x^2 +4

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21:31 Uhr, 02.08.2020

Ich habe versucht die Partialbruchzerlegung durchzuführen, aber es lässt sich keine Nullstelle erraten. Woran liegt das?

Die Potenzen sind alle gerade:

x^4 + 3x^2 +4

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21:34 Uhr, 02.08.2020

Dann sind es möglicherweise komplexe Nullstellen. Das ergibt sich aber schon aus der Darstellung von Atlantik.

Sahra0 aktiv_icon

21:37 Uhr, 02.08.2020

Das ist schon mal gut zu wissen, aber welches Verfahren nutzt man um die Nullstellen zu finden?

pivot aktiv_icon

21:49 Uhr, 02.08.2020

Für die Partialbruchzerlegung musst du jetzt nicht zwingend die Nullstellen ausrechnen. Für komplexe Nullstellen gibt es ein spezielles Vorgehen bei der Partialbruchzerlegung. Siehe: de.wikipedia.org/wiki/Partialbruchzerlegung#Komplexe_Polstellen

___________________________________________________

Ansonsten kann man z.B. auch die Gleichung

4 + x^{2} = 0

lösen.

x^{2} = - 4

Jetzt gilt ja

- 1 = i^{2}

x^{2} = 4 \cdot i^{2} \Rightarrow x_{1} = - 2 i, x_{2} = + 2 i

___________________________________________________

Im Übrigen ist

(4 + 2 x^{2}) (4 + x^{2}) = 2 x^{4} + 12 x^{2} + 16

Geteilt durch 2:

x^{4} + 6 x^{2} + 8 = 0

Nochmal kann man nicht durch 2 teilen, wenn der erste Koeffizient ganzzahlig bleiben soll.

Sahra0 aktiv_icon

22:02 Uhr, 02.08.2020

Super, danke. das zweite Verfahren finde ich irgendwie einfacher.

pivot aktiv_icon

22:19 Uhr, 02.08.2020

Ich weiß nicht genau was du mit "zweitem Verfahren" meinst. Wenn es das von Wiki ist, dann bist du auf der sicheren Seite.

ermanus aktiv_icon

22:34 Uhr, 02.08.2020

Hallo,
der Nenner des Integranden ist doch bereits in reellen ireeduziblen
Faktoren vorgegeben,
also suchen wir

A, B, C, D

mit

\frac{A x + B}{x^{2} + 2} + \frac{C x + D}{x^{2} + 4} = \frac{x}{(x^{2} + 2) (x^{2} + 4)}

.
Das liefert

A = 1 / 2, C = - 1 / 2, B = D = 0

.
So wird man auf Integrale der Gestalt

\int \frac{x}{x^{2} + k o n s t} d x

geführt.
Da der Zähler des Integranden bis auf eine Konstante die Ableitung des Nenners ist,
erkennt man sofort, dass die Stammfunktionen die Gestalt

c \cdot \ln (x^{2} + k o n s t)

haben.
Gruß ermanus

Sahra0 aktiv_icon

22:49 Uhr, 02.08.2020

Du rettest meinen Abend!!!...Danke

Sahra0 aktiv_icon

00:11 Uhr, 03.08.2020

Ich glaube, dass da ein kleiner Fehler ist. Das Integral heißt ja:

7x/(.....) und nicht x/(...)

Das würde bedeuten, dass 4A + 2C = 7 ist, bzw. würde dann für c = -7/2 rauskommen.
Der Rest würde sich dann auch ändern, aber kann auch sein, dass ich völlig daneben liege.

ermanus aktiv_icon

00:27 Uhr, 03.08.2020

Naja, die simplen Faktoren habe ich weggelassen:

\int 7 x / . . . = 7 \int x / . . .

Das musst du doch auch selbst hinkriegen :-)
Ich wollte nicht deine Aufgabe lösen, sondern dir bei den
wesentlichen Ideen behilflich sein.
Den Kleinkram musst du schon selbst meistern ;-)

Sahra0 aktiv_icon

00:43 Uhr, 03.08.2020

Das hab ich mir schon so gedacht^^, wollte nur mal darauf hinweisen. Könnte man diese Aufgabe auch mit einer Substitution lösen? Ich habe auf der Seite: www.integralrechner.de zum Ergebnisvergleich die Aufgabe einmal eingegeben, hier wurde mir die Substitution als Lösungsmittel vorgeschlagen.

ermanus aktiv_icon

00:50 Uhr, 03.08.2020

Das ist sicher möglich, aber eher contraintuitiv,
da der Nenner doch bereits faktorisiert vorliegt.
Übrigens: bedenke, dass ich aus dem einen Faktor im Nenner
eine 2 herausgezogen habe ...

P.S.: bin nun offline !

Respon

01:07 Uhr, 03.08.2020

Eine mögliche Substitution wäre

z = \frac{x^{2} + 2}{x^{2} + 4}

und führt zu

\int \frac{7}{8} \cdot \frac{1}{z} d z = \frac{7}{8} \cdot ln (z) = . .

.
Allerdings bedarf es dazu schon einer größere Portion mathematischen Spieltriebs.

Sahra0 aktiv_icon

01:19 Uhr, 03.08.2020

Danke für die Demonstration. Das wäre wirklich zu kompliziert für eine Anfängerin wie mich, wenn ich die Grundlagen beherrsche, dann sollten vielleicht auch mal spielerische Möglichkeiten möglich sein.

Sahra0 aktiv_icon

02:37 Uhr, 03.08.2020

Danke nochmal für die ausführlichen Antworten. Hat mir sehr geholfen!!!

Atlantik aktiv_icon

10:58 Uhr, 03.08.2020

x^{4} + 6 x^{2} + 8 = 0

x^{4} + 6 x^{2} = - 8

{(x^{2} + 3)}^{2} = - 8 + 9 = 1

1 .) x^{2} = - 3 + 1 = - 2 = 2 i^{2}

x_{1} = i \sqrt{2}

x_{2} = - i \sqrt{2}

2 .) x^{2} = - 3 - 1 = - 4 = 4 i^{2}

x_{3} = 2 i

x_{4} = - 2 i

mfG

Atlantik

ermanus aktiv_icon

11:34 Uhr, 03.08.2020

@Atlantik: Das ist ja alles richtig.
Aber warum sollte man das so machen?
1. benötigt man die komplexen Nullstellen garnicht.
2. aus der Faktorisierung

2 (x^{2} + 2) (x^{2} + 4)

knnn man diese
sofort ablesen.
Gruß ermanus

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