vollständige Induktion, Potenzregel

Hallo,

ich soll die Potenzregel ${\displaystyle {\left({\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}\right)}^{\prime }}$ = ${\displaystyle {\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}-1}}$ per vollstäniger Induktion beweisen.

IA: n=1

${\displaystyle ({{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^1)}^{\prime }=1\times {\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^0}$

wenn x=1 dann 1=1

IV: Es existiert ein festes, beliebiges n ${\displaystyle \in }$ N, so dass....

IS:

${\displaystyle \mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\to \mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+1}$

${\displaystyle {\left({\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{(\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+1)}\right)}^{\prime }=(\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+1)\times {\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{(\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+1)-1}}$

${\displaystyle {\left({\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{(\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+1)}\right)}^{\prime }=(\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+1)\times {\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}$

reicht das als vollständige Induktion, oder kann ich mit der letzten Umstellung noch weiter machen? Irgendiwe kommt mir das so kurz vor....

Vielen Dank

Super. Das mit der Produktregel hat mir sehr geholfen. vielen Dank!