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vollständige Induktion einer Summe

Universität / Fachhochschule

Tags: Induktion, Induktionsanfang, Induktionsbeweis, Induktionsschluss, Induktionsschritt, Summe, Vollständig Induktion

Nick-Cave aktiv_icon

13:03 Uhr, 05.11.2014

Hallo zusammen,

Ich habe eine Aufgabe, die die vollständige Induktion beinhaltet. Diese Aufgabe lautet:
"Beweisen Sie mit Hilfe vollständiger Induktion, dass für alle natürliche Zahlen

d \in N

gilt:

\sum_{i = 1}^{d} (2^{d - i} \cdot i) \leq 2^{d + 1} - d - 2

Ich weiß, dass es sich bei dieser Aufgabe nicht gerade um eine Aufgabe handelt, die einen besonders hohen Inteligenzquotienten benötigt, aber ich weiß nicht was ich nach dem Induktionsschritt tun soll, da ich hier 2 Variablen

i

und

d

habe. Ich fang mal mit dem Induktionsanfang an:

1) Induktionsanfang(d=1):

\sum_{i = 1}^{d = 1} (2^{1 - 1} \cdot 1) \leq 2^{1 + 1} - 1 - 2

= \sum_{i = 1}^{1} (2^{0} \cdot 1) \leq 2^{2} - 1 - 2

= \sum_{i = 1}^{1} 1 \cdot 1 \leq 4 - 1 - 2

= \sum_{i = 1}^{1} 1 \leq 1

So weit so gut. 1

\leq

1 ist richtig, weswegen der Induktionsanfang stimmt. Nun kommen wir zum Induktionsschritt.

2) Induktionsschritt

2.1) Induktionsvoraussetzung:

\sum_{i = 1}^{d} (2^{d - i} \cdot i) \leq 2^{d + 1} - d - 2

2.2) Induktionsbehauptung (d=n+1)

\sum_{i = 1}^{n + 1} (2^{(n + 1) - i} \cdot i) \leq 2^{(n + 1) + 1} - (n + 1) - 2

\sum_{i = 1}^{n + 1} (2^{n + 1 - i} \cdot i) \leq 2^{n + 2} - n - 3

Nun weiß ich nicht mehr weiter, da ich keine Ahnung habe wie ich mit 2 Variablen weiterkomme, aber dennoch versuche ich mal die Gleichung aufzustellen...

\sum_{i = 1}^{n + 1} (2^{n + 1 - i} \cdot i) = \sum_{i = 1}^{n} (2^{n - 1} \cdot n) + 2^{(n + 1) - (n + 1)} \cdot (n + 1)

Ich weiß echt nicht mehr was ich tun soll... Ich würde mich sehr freuen, wenn mir jemand den Lösungsweg aufschreiben würde, um endlich meinen Seelenfrieden zu kriegen... Ich bedanke mich im Voraus für eure Unterstützung!

Liebe Grüße
Nick :-)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

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