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wurzel drei ist kein Element Q[wurzel2]

Universität / Fachhochschule

Tags: Axiom, Körper

eurekleene13 aktiv_icon

15:07 Uhr, 14.11.2010

es sei Q

[

wurzel2]:={a+bwurzel2:a,b element Q(rationale zahlen)} teilmenge der reelen zahlen. mit den verknüpfungen

+, \cdot

sowie der anordnung kleiner gleich aus den reelen zahlen wird

Q [2]

zu einem angeordneten Körper.

Nun soll ich zeigen, dass wurzel drei kein element von Q

[

wurzel

2]

ist?

Kann mir jemand sagen, wie ich bestimme was ein Element ist und was nicht?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
n-te Wurzel
Wurzel (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Raummessung

hagman aktiv_icon

13:15 Uhr, 15.11.2010

Betrachte die Abbildung

φ : ℚ [\sqrt{2}] \to ℚ [\sqrt{2}], a + b \sqrt{2} \mapsto a - b \sqrt{2}

.
(Das geht, weil zu gegebenem

α \in ℚ [\sqrt{2}]

die Zahlen

a, b \in ℚ

mit

α = a + b \sqrt{2}

eindeutig bestimmt sind).
Dies Abbildung ist ein Körperhomomorphismus (allerdings nicht mit der Ordnung verträglich; das mit der Ornung können wir ohnehin für diese Aufgabe ignorieren),

d . h

. es gilt

φ (α + β) = φ (α) + φ (β),

φ (α \cdot β) = φ (α) \cdot φ (β),

φ (1) = 1

.
Falls

α = a + b \sqrt{2}

mit

a, b \in ℚ,

φ (α) = α \Leftrightarrow b = 0

und

φ (α) = - α \Leftrightarrow a = 0

.

Wenn nun

α \in ℚ [\sqrt{2}]

die Eigenschaft

α \cdot α - 3 = 0

hat, folgt somit auch

φ (a) \cdot φ (α) - φ (3) = φ (0),

also

φ (α) \cdot φ (α) - 3 = 0

.
Außerdem gilt per Polynomdivision (oder 3. binomischer Formel)

0 = φ {(α)}^{2} - 3 = (φ (α) - α) \cdot (φ (α) + α)

.
Somit entweder

φ (α) = α,

also

α \in ℚ

(aber

\sqrt{3}

ist irrational)
oder

φ (α) = - α,

also

α = b \cdot \sqrt{2}

mit

b \in ℚ

(aber

2 b = \sqrt{6}

ist irrational). Also kann es kein

α \in ℚ [\sqrt{2}]

mit

α^{2} = 3

geben.

eurekleene13 aktiv_icon

14:02 Uhr, 16.11.2010

Hast du diese F´kt jetzt einfach ohne die Wurzel betrachtet sehe ich das rcihtig???

eurekleene13 aktiv_icon

14:23 Uhr, 16.11.2010

Falls ja weshalb funktioniert das so?

eurekleene13 aktiv_icon

16:24 Uhr, 16.11.2010

Hatte das falsche Programm kann jetzt erst deine Lösung richtig sehen udn ist natürlich alles einleutend. Vielen Dank dafür ich hätte allerdings noch eine Frage zu dieser Menge und zwar soll ich beweisen, dass es zwar eine obere schranke gibt a´ber kein Supremum

x

ist elemnt

ℚ

wurzel

2 :

x<wurzel 3

meine überlegungen: wenn es ein supremum von

M \in ℚ

wurzel 2 gäbe, dann könnte das nach deiner Überlegung nur

>

wurzel 3 oder

<

wurzel 3 sein.
Aber wie kann ich das mathematisch ausschließen???

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