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# x^x differenzierbar

## Tags: Funktionalanalysis

16:14 Uhr, 10.06.2021

Hallo, ich muss zeigen, dass ${x\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}}^{x\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}}$ differenzierbar auf ${ℝ}_{+}\to ℝi\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}s\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}t\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}u\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}n\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}d\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}d\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}a\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}n\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}n\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}d\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}i\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}e\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}A\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}b\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}l\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}e\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}i\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}t\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}u\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}n\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}g\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}b\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}e\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}r\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}e\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}c\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}h\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}n\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}e\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}n\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}.$
Also:
$limx\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}\to {x\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}}_{*}\frac{{x\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}}^{x\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}}-{x\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}}_{*}^{{x\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}}_{*}}}{x\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}-{x\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}}_{*}}=limx\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}\to {x\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}}_{*}\frac{{x\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}}^{x\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}}-{x\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}}_{*}^{{x\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}}_{*}}}{x\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}-{x\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}}_{*}}=limx\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}\to {x\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}}_{*}\frac{{e\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}}^{x\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}l\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}n\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}\left(x\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}\right)}-{e\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}}^{{x\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}}_{*}l\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}n\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}\left({x\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}}_{*}\right)}}{x\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}-{x\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}}_{*}}=limx\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}\to {x\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}}_{*}\frac{{e\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}}^{2x\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}l\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}n\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}\left(x\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}\right)}-{e\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}}^{2{x\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}}_{*}l\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}n\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}\left({x\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}}_{*}\right)}}{\left(x\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}-{x\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}}_{*}\right){e\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}}^{x\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}l\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}n\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}\left(x\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}\right)}+{e\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}}^{{x\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}}_{*}l\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}n\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}\left({x\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}}_{*}\right)}}$
Ab da komm ich nicht mehr weiter.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

18:02 Uhr, 10.06.2021

Hallo,

Du kannst doch ${x\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}}^{x\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}}=$ exp( $x\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}\cdot ln\left(x\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}\right)\right)$ nach den einschlägigen Differentiationsregeln ableiten. Zu den Regeln gehört auch die Aussage, dass die entsprechenden Ableitungen existieren.

Gruß pwm

18:41 Uhr, 10.06.2021

Dies hättest du auch schon bei
www.onlinemathe.de/forum/Kotangens-differenzierbar
nutzen können. Das hätte dir viel Arbeit erspart,
da du ja bereits die Ableitung von $\mathrm{cos\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}}\left(x\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}\right)/\mathrm{sin\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}}\left(x\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}\right)$ vermutlich mit
der Quotientenregel berechnet hast ...
Mit dieser Regel hättest du aus der Diffbarkeit von $\mathrm{sin\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}}$ und $\mathrm{cos\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}}$
sofort auf die Diffbarkeit des Quotienten schließen dürfen.
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