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x^x differenzierbar

Universität / Fachhochschule

Funktionalanalysis

Tags: Funktionalanalysis

ralph123 aktiv_icon

16:14 Uhr, 10.06.2021

Hallo, ich muss zeigen, dass

x^{x}

differenzierbar auf

ℝ_{+} \to ℝ i s t u n d d a n n d i e A b l e i t u n g b e r e c h n e n .

Also:

lim x \to x_{*} \frac{x^{x} - x_{*}^{x_{*}}}{x - x_{*}} = lim x \to x_{*} \frac{x^{x} - x_{*}^{x_{*}}}{x - x_{*}} = lim x \to x_{*} \frac{e^{x l n (x)} - e^{x_{*} l n (x_{*})}}{x - x_{*}} = lim x \to x_{*} \frac{e^{2 x l n (x)} - e^{2 x_{*} l n (x_{*})}}{(x - x_{*}) e^{x l n (x)} + e^{x_{*} l n (x_{*})}}

Ab da komm ich nicht mehr weiter.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

pwmeyer aktiv_icon

18:02 Uhr, 10.06.2021

Hallo,

Du kannst doch

x^{x} =

exp(

x \cdot ln (x))

nach den einschlägigen Differentiationsregeln ableiten. Zu den Regeln gehört auch die Aussage, dass die entsprechenden Ableitungen existieren.

Gruß pwm

ermanus aktiv_icon

18:41 Uhr, 10.06.2021

Dies hättest du auch schon bei
www.onlinemathe.de/forum/Kotangens-differenzierbar
nutzen können. Das hätte dir viel Arbeit erspart,
da du ja bereits die Ableitung von

\cos (x) / \sin (x)

vermutlich mit
der Quotientenregel berechnet hast ...
Mit dieser Regel hättest du aus der Diffbarkeit von

\sin

und

\cos

sofort auf die Diffbarkeit des Quotienten schließen dürfen.

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