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Beweis Inkreisradius N wenn auch a,b,c N

Universität / Fachhochschule

Tags: Beweis, Inkreisradius, Rechtwinkliges Dreieck

anonymous

19:19 Uhr, 21.05.2009

Hallo.
Ich muss Folgendes beweisen:

Der Inkreisradius eines rechtwinkligen Dreiecks, dessen Kantenlängen sämtlich natürliche Zahlen sind, ist eine natürliche Zahl.

Hat jemand eine Idee? Ich finde garkeinen Ansatzpunkt.
Falls jemand den ganzen Beweis hinkriegt, würde ich den gerne haben, da ich noch 3 andere Aufgaben an der Backe habe

: (

.
Aber sonstige Hilfe/Ideen sind auch erwünscht!
Brauche Hilfe...
Danke.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich benötige bitte nur das Ergebnis und keinen längeren Lösungsweg."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Trigonometrie (Mathematischer Grundbegriff)

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

m-at-he

03:08 Uhr, 22.05.2009

Hallo,

da hast Du Dir ja für diese Frage (und die lautet ja: "Hat jemand eine Idee?") die absolut passende Option ausgewählt. Wenn man annimmt, daß jemand von einer Uni/FH lesen und auch abschätzen kann, was das für die Antwort auf diese Frage bedeutet, sollte man hier als Antwort einfach schreiben:

Ja, ich!

Das kannst Du aber nicht wirklich gemeint haben, deshalb hier mal die volle Lösung, da ich davon ausgehe, daß Du sowieso nicht mehr wach bist und ich in den nächsten Tagen eher wenig Zeit habe das mit Dir zusammen zu entwickeln und andere scheinen sich da auch mit Lösungsvorschlägen zurückzuhalten.

Der Ausgangspunkt des Beweises ist die relativ wenig bekannte Inkreisformel für Dreiecke. Die lautet:

r_{i} = \frac{2 \cdot A}{u}

mit

A =

Flächeninhalt und

u =

Umfang

Für rechtwinklige Dreiecke vereinfacht sich hier einiges:

r_{i} = \frac{2 \cdot (\frac{1}{2} \cdot a \cdot b)}{a + b + \sqrt{a^{2} + b^{2}}} = \frac{a \cdot b}{a + b + \sqrt{a^{2} + b^{2}}}

Das erweitert man mit

(a + b - \sqrt{a^{2} + b^{2}})

r_{i} = \frac{a \cdot b \cdot (a + b - \sqrt{a^{2} + b^{2}})}{{(a + b)}^{2} - (a^{2} + b^{2})}

r_{i} = \frac{a \cdot b \cdot (a + b - \sqrt{a^{2} + b^{2}})}{a^{2} + 2 \cdot a \cdot b + b^{2} - a^{2} - b^{2}}

r_{i} = \frac{a \cdot b \cdot (a + b - \sqrt{a^{2} + b^{2}})}{2 \cdot a \cdot b}

r_{i} = \frac{a + b - \sqrt{a^{2} + b^{2}}}{2}

Was steht da eigentlich im Zähler? Da steht

a + b - c,

das ist nach der Dreiecksungleichung eine positive Zahl und nach Voraussetzung eine ganze Zahl, denn alle drei Seiten sind ja ganze Zahlen. Im Zähler steht also eine positive ganze Zahl. Für die muß man nur noch zeigen, daß sie gerade ist!

r_{i} = \frac{a + b - c}{2}

Fall

1 : a

ist gerade und

b

ist gerade

\Rightarrow a^{2}

ist gerade und

b^{2}

ist gerade

\Rightarrow a^{2} + b^{2}

ist gerade

\Rightarrow c^{2}

ist gerade

\Rightarrow c

ist gerade

und es folgt aus der Fallvoraussetzung und dem letzten Zwischenergebnis:

\Rightarrow a + b

ist gerade und

c

ist gerade

\Rightarrow (a + b) - c

ist gerade

\Rightarrow a + b - c

ist gerade

Fall

2 : a

ist gerade und

b

ist ungerade

\Rightarrow a^{2}

ist gerade und

b^{2}

ist ungerade

\Rightarrow a^{2} + b^{2}

ist ungerade

\Rightarrow c^{2}

ist ungerade

\Rightarrow c

ist ungerade

und es folgt aus der Fallvoraussetzung und dem letzten Zwischenergebnis:

\Rightarrow a + b

ist ungerade und

c

ist ungerade

\Rightarrow (a + b) - c

ist gerade

\Rightarrow a + b - c

ist gerade

Fall

3 : a

ist ungerade und

b

ist gerade

\Rightarrow a^{2}

ist ungerade und

b^{2}

ist gerade

\Rightarrow a^{2} + b^{2}

ist ungerade

\Rightarrow c^{2}

ist ungerade

\Rightarrow c

ist ungerade

und es folgt aus der Fallvoraussetzung und dem letzten Zwischenergebnis:

\Rightarrow a + b

ist ungerade und

c

ist ungerade

\Rightarrow (a + b) - c

ist gerade

\Rightarrow a + b - c

ist gerade

Fall

4 : a

ist ungerade und

b

ist ungerade

\Rightarrow a^{2}

ist ungerade und

b^{2}

ist ungerade

\Rightarrow a^{2} + b^{2}

ist gerade

\Rightarrow c^{2}

ist gerade

\Rightarrow c

ist gerade

und es folgt aus der Fallvoraussetzung und dem letzten Zwischenergebnis:

\Rightarrow a + b

ist gerade und

c

ist gerade

\Rightarrow (a + b) - c

ist gerade

\Rightarrow a + b - c

ist gerade

In allen 4 Fällen ist

a + b - c

eine gerade positive ganze Zahl und somit gilt immer:

a + b - c

ist gerade positive ganze Zahl

\Rightarrow \frac{a + b - c}{2}

ist positive ganze Zahl

\Rightarrow r_{i}

ist eine positive ganze Zahl

Und weil eine positive ganze Zahl eine natürliche Zahl ist, ist hier das Ende des Beweises!

Kitlow aktiv_icon

22:15 Uhr, 03.06.2009

Ich habe mal eine Frage zu diesem Beweis:
Ziemlich weit am Anfang des Beweises hast du eine Erweiterung gemacht mit

(a + b -

wurzel aus a²+b²) und ich verstehe leider nicht wie du auf die Idee gekommen bist das zu machen. Könntest du das nochmal erklären?
Gruss Kitlow

m-at-he

06:59 Uhr, 04.06.2009

Hallo,

"Ziemlich weit am Anfang des Beweises hast du eine Erweiterung gemacht mit

(a + b - \sqrt{a^{2} + b^{2}})

und ich verstehe leider nicht wie du auf die Idee gekommen bist das zu machen."

Die Antwort darauf kann nur lauten: "Viel Erfahrung", denn folgendes ist für mich klar:

1. Aus Erfahrung weiß ich, daß eine Summe im Nenner schwierig zu handhaben ist, wenn man beweisen will, daß der Zähler durch den Nenner teilbar ist.

2. Aus Erfahrung weiß ich, daß Wurzeln und imaginäre Zahlen als Summanden im Nenner stören, aber durch Anwendung binomischer Formeln eliminierbar sind.

3. Aus Erfahrung weiß ich, daß diese spezielle Konstruktion durch Anwendung der binomischen Formeln im Nenner nur noch die

2 \cdot a \cdot b

übrig läßt und die sind mit dem Faktor

a \cdot b

aus dem Zähler (der ja bei der Erweiterung erhalten bleibt) kürzbar. Danach bleibt nur die 2 im Nenner, das ist nahezu optimal.

peufla aktiv_icon

09:48 Uhr, 18.10.2011

Setzt man neben der Inkreisformel für rechtwinklige Dreiecke

r_{i} = \frac{1}{2} (a + b - c)

auch die Kenntnis der Formel zur Bildung normierter primitiver pythagoreischer Tripel voraus,

a = u^{2} - v^{2}, b = 2 u v, c = u^{2} + v^{2}

mit

u, v

teilerfremd

\in ℕ, u > v

fällt der Beweis um etliches leichter:

r_{i} = \frac{1}{2} ((u^{2} - v^{2}) + 2 u v - (u^{2} + v^{2}))

r_{i} = v (u - v)

Aus den Definitionsbereich von

u

und

v

folgt, dass

r_{i}

das Produkt zweier natürlichen Zahlen ist.

\Rightarrow r_{i} \in ℕ

für alle primitive pythagoreische Tripel

Da nicht-primitive pythagoreische Tripel lediglich aus ganzahligen Vielfachen von primitiven pythagoreischer Tripel bestehen und beide Mengen zusammen die Gesamtheit aller pythagoreischer Tripel darstellen, kann schlussgefolgert werden:

r_{i} \in ℕ

für alle rechtwinkligen Dreiecke mit

a, b, c \in ℕ

peufla aktiv_icon

10:52 Uhr, 18.10.2011

N . B . :

Obwohl der Beweis von m-at-he völlig korrekt geführt ist, sei vollständigkeitshalber darauf hingewiesen, dass Fall

4 (a

ist ungerade und

b

ist ungerade) praktisch gar nie eintreten kann, da zumindest eine der beiden Katheten stets eine gerade Zahl bildet. Dies geht

u . a

. aus der Formel zur Bildung Pythagoreischen Tripel (siehe oben) hervor.

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

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