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Fläche zwischen 2 Funktionen berechnen

Universität / Fachhochschule

Tags: Differenzfunktion, Fläche berechnen, Integration

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14:51 Uhr, 13.09.2014

Servus,

ich hänge gerade an der Berechnung einer Fläche fest. Ich habe die 2 Funktionen:

f (x) = \sqrt{2 x + 6}

g (x) = x - 1

Ich habe die Funktionen gleichgesetzt und die Schnittpunkte berechnet:

\sqrt{2 x + 6} = x - 1

2 x + 6 =

x²

+ 1 - 2 x

0 =

x²

- 4 x - 5

Somit komme ich auf die 2 Schnittpunkte in

x -

Richtung:

x 1 = 5

x 2 = - 1

Soweit am Rande... Wenn ich nun die Fläche berechnen will, muss ich beide Funktionen für sich integrieren oder kann ich meine oben errechnete Funktion (x²

- 4 x - 5

-->ist das nicht meine Differenzfunktion?) als solches integrieren? Ich komme bei beiden Vorgehensweisen auf unterschiedliche Ergebnisse, dachte bisher aber, dass das keine Rolle spielt...

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Bestimmtes Integral (Mathematischer Grundbegriff)
Flächenberechnung durch Integrieren

Respon

14:59 Uhr, 13.09.2014

Quadrieren ist keine Äquivalenzumformung !
Überprüfe mal

x = - 1

Wie sieht die Originalaufgabe aus ?

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15:11 Uhr, 13.09.2014

f(x)ist in der Aufgabe als

f (x) = + - \sqrt{2 x + 6}

angegeben. Ich dachte aber das würde nur in Sachen Schnittpunkt was ändern..?

Wobei ich für die Berechnung mit der negativen Wurzel keinen Schnittpunkt gefunden habe. Also insofern würde das wieder mit deiner Aussage passen.

Ich muss also in dem Fall tatsächlich beide Funktionen für sich integrieren und dann erst voneinander abziehen?

Respon

15:14 Uhr, 13.09.2014

Das ist natürlich ganz etwas anderes.
Für

f (x) = \sqrt{2 \cdot x + 6}

hätte es nur einen Schnittpunkt gegeben ( bei

x = 5)

f (x) = \pm \sqrt{2 \cdot x + 6}

ist ja KEINE Funktion.

Zeichne den Graph.

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15:17 Uhr, 13.09.2014

Wieso ist das keine Funktion? Es sind doch sogar 2 Funktionen, entweder im positiven oder im negativen verlaufend.

Respon

15:19 Uhr, 13.09.2014

Verwendet man die Schreibweise

f (x) = \pm \sqrt{2 \cdot x + 6},

so widerspricht das der Definition der Funktion.
siehe de.wikipedia.org/wiki/Funktion_%28Mathematik%29#Definition

Zero5 aktiv_icon

15:24 Uhr, 13.09.2014

Uff... Also wäre die Aufgabe in deinen Augen gar nicht lösbar? Denn dann bliebe ja nur noch

g (x)

und damit kann ich keine Fläche zwischen zwei Funktionen berechnen.

Respon

15:30 Uhr, 13.09.2014

Das ist nur ein Problem der Schreibweise und der Bezeichnung.

y^{2} = 2 \cdot x + 6

y = x - 1

...

. und es gäbe keine Probleme.
siehe Graph

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15:53 Uhr, 13.09.2014

Ok... jetzt komm ich der Sache langsam näher! Danke!

Ok... also das Ergebnis einer Wurzel ist ja immer positiv. Dadurch, dass sie aber AUCH (ich dachte entweder/oder) ein negatives Vorzeichen hat, sehe ich, dass der Graph auch im negativen y-Bereich verlaufen muss.
Dadurch weiß ich, dass ich die Teilflächen einzeln berechnen und addieren muss.

Also.
Ich bestimme meine Schnittpunkte mit der Grenzfunktion und erhalte

x 1 = 5

und

x 2 = - 1

Dann sehe ich mir die Nullstellen beider Funktionen an und erhalte

N (f) = - 3

und

N (g) = 1

Aber wie kann ich nun - ohne Zeichnung - erkennen, welche Grenzen ich zusammen benutzen muss? Mit Zeichnung kann ich es ja erkennen:
A(oben)=

F (b) - F (a) = F (5) - F (- 3)

A(unten)

= F (1) - F (- 3)

Das heißt ja auch, dass der Schnittpunkt bei

- 1

in dem Fall völlig unrelevant für mich ist oder?

Respon

16:06 Uhr, 13.09.2014

Nein, die Werte sind schon wichtig. Zusätzlich kommen als Grenzen noch die jeweiligen Schnittpunkte mit der x-Achse dazu.
Trenne einfach "oben" und "unten" und berechne einzeln.

Zero5 aktiv_icon

16:24 Uhr, 13.09.2014

Alles recht verwirrend finde ich. Ich danke dir erstmal!

Zero5 aktiv_icon

18:47 Uhr, 13.09.2014

Doch nochmal ich :-)

Kannst du mir noch bestätigen, ob mein Ansatz richtig ist? Also
A(oben)= F(b)−F(a)=F(5)−F(−3)
A(unten) =F(1)−F(−3)

Und wofür brauche ich dann noch meinen zweiten Schnittpunkt

x 2 = - 1

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