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Ganzrationale Funktion. Allgemeines...

Schüler

Tags: Ganzrationale Funktionen

GermanBoy1129 aktiv_icon

20:00 Uhr, 01.07.2013

Hallo,
eine allgemeine Frage.
Die Funktion 3. Grades wird so definiert

\to f (x) = a \cdot x^{3} + b \cdot x^{2} + c \cdot x + d

Meine Frage lautet nun. Welche 'Aufgaben' haben die Parameter

a, b, c

und d?
Habe da nämlich einige Schwierigkeiten, die auseinander zu halten.

Danke schonmal :-)

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Ma-Ma aktiv_icon

20:45 Uhr, 01.07.2013

Vorschlag:
Setze für alle Parameter 1 ein. Plotte diesen Graph.

Anschließend ändere die einzelnen Parameter.
Setze

z . B

. für

d = 0

ein. Plotte erneut. Anschließend

d = 2

oder

d = - 1

Welchen Unterschied erkennst Du ? Welche "Aufgabe" hat PArameter d?

Genauso kannst Du bei allen Parametern vorgehen und erkennst, wie sich der Graph bei Änderung der einzelnen Parameter verhält.

Atlantik aktiv_icon

09:36 Uhr, 02.07.2013

Zugang über die Nullstellenform:

f (x) = a \cdot (x - u) (x - v) (x - w)

f (x) = a \cdot [(x - u) (x^{2} - v x - w x + v w)]

f (x) = a \cdot (x^{3} - v x^{2} - w x^{2} + x v w - u x^{2} + u v x + u w x - u v w)

f (x) = a \cdot x^{3} - a v x^{2} - a w x^{2} + a x v w - a u x^{2} + a u v x + a u w x - a u v w

f (x) = a \cdot x^{3} + (- a u - a v - a w) x^{2} + (a u v + a u w + a v w) x - a u v w

z . B

f (x) = 3 x^{3} + 5 x^{2} - 7 x - 2

Jetzt gilt, da

a = 3

1 .) - 3 u - 3 v - 3 w = 5

2 .) 3 u v + 3 u w + 3 v w = - 7

3 .) 3 u v w = 2

Jetzt hast du 3 Gleichungen mit 3 Unbekannten und kannst somit die Nulltellen

u, v

und

w

ausrechnen

mfG

Atlantik

Matlog aktiv_icon

10:54 Uhr, 02.07.2013

Hallo Atlantik,

"Jetzt hast du 3 Gleichungen mit 3 Unbekannten und kannst somit die Nulltellen

u, v

und

w

ausrechnen"

Hast Du das bei Deinem Beispiel mal versucht?

Atlantik aktiv_icon

11:30 Uhr, 02.07.2013

Allerdings , das habe ich nicht.

mfG
Atlantik

Bummerang

12:15 Uhr, 02.07.2013

Hallo,

"Jetzt hast du 3 Gleichungen mit 3 Unbekannten und kannst somit die Nulltellen

u, v

und

w

ausrechnen"

"Hast Du das bei Deinem Beispiel mal versucht?"

"Allerdings , das habe ich nicht."

Natürlich hat er das nicht! Denn wenn es so, und vor allem auch noch so einfach, möglich wäre, hätte Atlantik die Mathematik revolutioniert und dem bisher einzig bekannten, und durchaus anspruchsvollen Lösungsweg für ganzrationale Funktionen dritten Grades eine Alternative entgegengestellt, die auch noch gradübergreifend erweitert werden kann, bis in die Region jenseits des 4-ten Grades. Da entstehen dann

z . B

. 5 Gleichungen mit 5 Variablen, die man dann ebenso mal löst. Generationen von Mathematikern, die nicht nur an solchen Lösungen gescheitert sind, sondern fälschlicherweise sogar die Auffassung verbreitet hatten, dass es ab Grad 5 keinen allgemeingültigen Lösungsweg gäbe, verneigen sich im Grabe vor dieser Leistung. Aber auch lebende Mathematiker und sonstige Freunde der Mathematik werden ab sofort dieses Forum stürmen, nur um diesem Genie ihre Freundschaft anbieten zu dürfen. Ich denke, man sollte sich schon mal prophylaktisch ein anderes Forum suchen, dieses hier wird über kurz oder lang diesem Ansturm nicht gewachsen sein und unter dieser Last zusammenbrechen. Oder Atlantik hat da einfach seine Fähigkeiten maßlos überschätzt, dann gibt es noch Hoffnung für das Forum...

Atlantik aktiv_icon

13:09 Uhr, 02.07.2013

Ich habe mal das Gleichungssystem bei Wolfram eingegeben:

http//www.wolframalpha.com/input/?i=Solve%3A-3++u-3+v-3+w+%3D5+++and+++3u+v+%2B3+u+w+%2B3++v+w%3D-7++and++++3u+v+w%3D2

Es kommen zu berechnende Nullstellen raus.

mfG

Atlantik

Bummerang

13:17 Uhr, 02.07.2013

Hallo Atlantik,

wenn Du statt des Gleichungssystems gleich die ganzrationale Funktion eingegeben hättest, hättest Du ohne die Mühen für die Erzeugung des Gleichungssystem eine gleichwertige, ebenfalls numerisch gewonnene Lösung erhalten!

Atlantik aktiv_icon

16:48 Uhr, 02.07.2013

Ich wollte schlicht und einfach einen Zusammenhang zwischen Nullstellen und den Faktoren

a, b, c,

d

,..aufstellen.

mfG

Atlantik

Atlantik aktiv_icon

11:27 Uhr, 03.07.2013

Hier mal nur mit Zahlen, um die Zusammenhänge von Nullstellen und Faktor

a, b, c

und

d

zu zeigen:

a = 4

und

N_{1} (1 | 0); N_{2} (2 | 0); N_{3} (3 | 0)

Nullstellenform:

f (x) = 4 \cdot (x - 1) (x - 2) (x - 3)

f (x) = 4 [(x^{2} - 1 x - 2 x + 1 \cdot 2) (x - 3)] = 4 [x^{3} - 3 x^{2} - 1 x^{2} + 1 \cdot 3 x - 2 x^{2} + 2 \cdot 3 x + 1 \cdot 2 x - 1 \cdot 2 \cdot 3] =

= 4 [x^{3} + (- 1 - 2 - 3) x^{2} + (1 \cdot 2 + 1 \cdot 3 + 2 \cdot 3) x - 1 \cdot 2 \cdot 3] =

= 4 x^{3} + 4 (- 1 - 2 - 3) x^{2} + 4 (1 \cdot 2 + 1 \cdot 3 + 2 \cdot 3) x - 4 \cdot 1 \cdot 2 \cdot 3

f (x) = a \cdot x^{3} + b \cdot x^{2} + c \cdot x + d

Nun ist

a = 4; b = 4 (- 1 - 2 - 3); c = 4 (1 \cdot 2 + 1 \cdot 3 + 2 \cdot 3)

und

d = - 4 \cdot 1 \cdot 2 \cdot 3 \to

a = 4; b = - 24; c = 44

und

d = - 24

f (x) = 4 x^{3} - 24 x^{2} + 44 x - 24

mfG

Atlantik

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