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Gleichung der Tangente

Universität / Fachhochschule

Differentiation

Funktionen

Tags: Differentiation, Funktion

scbyy

19:16 Uhr, 05.10.2012

Hallo!

Ich brauche mal wieder eure Hilfe...
Es geht um folgende Angabe:

Sei

a > 0, a \neq 1

. Man stelle für die Funktion

f : (0; 1) \to R

mit

f (x) =

loga(x) (Log mit Basis

a)

im Punkt

x 0 = 2

die Gleichung der Tangente auf.

Irgendwo in meinem Rechenweg habe ich einen Denkfehler, das hab ich bis jetzt:

Die Ableitung von

f (x)

ist ja die Steigung der Tangente:

f' (x) = \frac{1}{x \cdot ln (a)} = k

Die Gleichung für eine Gerade:

y = k \cdot x + d

Dann versuch ich mir das

d

anhand der Geradengleichung auszurechnen:
loga(x)

= \frac{x}{x \cdot ln (a)} + d

x

gekürzt,

d

auf die linke Seite gebracht:

d =

loga(x)

- \frac{1}{ln (a)}

d

wieder in die Geradengleichung einsetzen:

y = \frac{x}{x \cdot ln (a)} +

loga(x)

- \frac{1}{ln (a)}

x

kürzen,

\frac{1}{ln (a)} - \frac{1}{ln (a)}

fällt weg..

dann komm ich zum ergebnis:

y =

loga(x)

aber das kann doch nicht sein oder irre ich mich?

lg
scbyy

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)
Tangente (Mathematischer Grundbegriff)
Sekante (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzierbarkeit (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Einführung Funktionen

Ma-Ma aktiv_icon

20:08 Uhr, 05.10.2012

Du hast einen Punkt gegeben, das ist mehr als nur der x-Wert

x_{0} = 2

.

Für die Tangentengleichung nutze auch den y-Wert dieses Punktes.

LG Ma-Ma

scbyy

23:24 Uhr, 05.10.2012

Also..
Wenn ich die Steigung mit

x 0 = 2

berechnen will:

f' (x) = \frac{1}{2 \cdot ln (a)}

wie berechne ich a?

Ma-Ma aktiv_icon

23:28 Uhr, 05.10.2012

Ich wiederhole mich: Wie lautet der Berührpunkt ?

Ausserdem:
Du hast bereits eine Gleichung für

k

bestimmt.
Du hast eine allgemeine Tangentengleichung aufgestellt.

Setze in diese

x, y

und

k

ein.

LG Ma-Ma

Ma-Ma aktiv_icon

23:33 Uhr, 05.10.2012

f:(0;1)→R

Zusatzfrage: Was ist hier genau gemeint ? Intervall ?

scbyy

23:44 Uhr, 05.10.2012

Das ist die komplette Angabe, was mit f:(0;1)→R gemeint ist weiß ich auch nicht...

Der Berührpunkt wird dann bei

P (2 | f (2))

liegen???

lg
und danke für die bisherigen antworten!

Ma-Ma aktiv_icon

00:20 Uhr, 06.10.2012

Zuerst Allgemeines:
Die Variable a wirst Du nicht los. Sie wird auch in der Tangentengleichung auftauchen.
Da Du keinen KONKRETEN Punkt gegeben hast, kannst Du a nicht auflösen.
(Außer die genannte Aufgabenstellung ist nicht komplett aufgeschrieben und enthält noch weitere Hinweise.)

f' (x = 2) = \frac{1}{2 \cdot ln (a)} = k

ist richtig.

d = {log}_{a} (2) - \frac{1}{ln (a)}

ist ebenfalls richtig.

Für

{log}_{a} (2)

kannst Du einen Basiswechsel (mit

ln)

vornehmen (Logarithmengesetze).
So erhälst Du

d (

in Abhängigkeit von

a)

.

LG Ma-MA

scbyy

00:40 Uhr, 06.10.2012

Somit ist

d = \frac{ln (2) - 1}{ln (a)}

?

daraus folgt dann die Tangentengleichung von

x 0 = 2

y = \frac{1}{2 \cdot ln (a)} \cdot 2 + \frac{ln (2) - 1}{ln (a)}

Passt das dann so?

lg

rundblick aktiv_icon

00:47 Uhr, 06.10.2012

"Passt das dann so?"

aber nein..

wenn du irgendwann anfängst zu überlegen, dann wirst du bemerken,
dass da irgendwie die Variable

x

fehlt ..
oder Klartext:
deine notierte Gleichung wäre eine Parallele zu einer Achse (zu welcher<?)
und was meinst du:
kann das sein?

also ?

\to . .

Ma-Ma aktiv_icon

00:51 Uhr, 06.10.2012

Fasst richtig !

Bei der Tangentengleichung ist

k

und

d

ein FESTER Wert. Das

x

bleibt im Spiel.

y = (\frac{1}{}

(2ln(a))

) \cdot x + \frac{ln (2) - 1}{ln (a)}

Ich krieg´s auf die Schnelle nicht so schön dargestellt .. sorry).

Man kann das

ln (a)

nach vorne ziehen und

d

auch noch ausrechnen (wenn man möchte).

LG Ma-Ma

rundblick aktiv_icon

00:57 Uhr, 06.10.2012

\to

Fasst

< -

richtig !

.. be griffen !

und : wenn Mann möchte

\to

y = \frac{1}{2 \cdot ln (a)} \cdot [x - 2 + ln (4)]

.. ? .. ob das wohl so stimmt?

. .

Ma-Ma aktiv_icon

01:05 Uhr, 06.10.2012

@rundblick: Du hast meinen Rechtschreibfehler gefunden *schmunzel* Das "s" schenk ich Dir

. .

.
LG Ma-Ma

rundblick aktiv_icon

01:13 Uhr, 06.10.2012

" Das "s" schenk ich Dir "

danke dir - werde es einrahmen ..

aber was meinst du, Ma-Ma , zu meinem Vorschlag bzgl. der Geraden?

?

Ma-Ma aktiv_icon

01:23 Uhr, 06.10.2012

Passt !

scbyy

10:46 Uhr, 06.10.2012

Ich danke euch beiden für Eure Hilfe!

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