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Herleitung E(|X|) bei Standardnormalverteilung

Universität / Fachhochschule

Erwartungswert

Tags: Betrag, Erwartungswert, Herleitung, Normalverteilung, Standardnormalverteilung

Statistik24 aktiv_icon

10:41 Uhr, 25.04.2024

Hi,

ich soll zeigen, dass

E (| X |) = \sqrt{\frac{2}{π}}

ist.

X

ist standardnormalverteilt.

Ich glaube es müsste ohne Substitution lösbar sein, weiß aber nicht wie.

Die Dichtefunktion habe ich gegeben und gemeinsam mit

| X |

ins Integral eingesetzt (Transorfmations Theorem(?)).

Das Integral der Dichtefunktion allein wäre ja

= 1

.

Weiter komme ich leider nicht, vielen Dank für eure Hilfe. Siehe auch Bild LG

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

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HAL9000

10:52 Uhr, 25.04.2024

Hinweis: Es ist

\frac{d}{d x} e^{- \frac{x^{2}}{2}} = - x \cdot e^{- \frac{x^{2}}{2}}

Statistik24 aktiv_icon

10:57 Uhr, 25.04.2024

Danke, aber wie setze ich das ein?
Mein Problem ist glaube ich das ich nicht sehe/verstehe welche Umformungsschritte nötig sind um zum richtigen Ergebnis zu kommen.

Idealerweise könnte ich glaube ich das Integral der Dichtefunktion durch umformen erhalten und wüsste dann, dass das

= 1

ist.

HAL9000

11:00 Uhr, 25.04.2024

Hmm, noch nicht ganz wach heute, was? Na daraus folgt doch unmittelbar die Stammfunktion

\int x \cdot e^{- \frac{x^{2}}{2}} d x = - e^{- \frac{x^{2}}{2}} + C

.

> Idealerweise könnte ich glaube ich das Integral der Dichtefunktion durch umformen erhalten

Nein!

Statistik24 aktiv_icon

11:07 Uhr, 25.04.2024

Scheinbar nicht nein ;-)

Ja danke, das mit der Stammfunktion verstehe ich, diese war mir tatsächlich sogar schon im Beispiel gegeben. Wie mache ich denn dann aber weiter, bzw. wann ist der richtige Zeitpunkt in der Umformung um die Stammfunktion zu bilden?

Ist denn mein Ansatz das Integral aufzuteilen sinnvoll?

HAL9000

11:13 Uhr, 25.04.2024

Tja, ich weiß nicht warum du noch zögerst, als hättest du noch nie eine Integralberechnung durchgeführt...

E (∣ X ∣) = 2 \cdot \int_{0}^{\infty} x \cdot \frac{1}{\sqrt{2 π}} \cdot e^{- \frac{x^{2}}{2}} d x = \frac{2}{\sqrt{2 π}} \cdot \int_{0}^{\infty} x \cdot e^{- \frac{x^{2}}{2}} d x

= \frac{2}{\sqrt{2 π}} \cdot {[- e^{- \frac{x^{2}}{2}}]}_{x = 0}^{\infty} = \frac{2}{\sqrt{2 π}} \cdot (0 - (- 1)) = \sqrt{\frac{2}{π}}

Statistik24 aktiv_icon

11:59 Uhr, 25.04.2024

Alles klar, vielen Dank!!

Ich stand irgendwie komplett auf dem Schlauch, habe sowas länger nicht gemacht.

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