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Hexe der Agnesi

Schüler Allgemeinbildende höhere Schulen,

Tags: Agnesi, aufstellen, Formel, Versiera, Wendekurve, Wendepunkt

hilfehilfehilfe aktiv_icon

13:00 Uhr, 28.05.2011

Hallo Leute! Ich habe ein kleines Problem mit der Hexe der Agnesi. Wie die Wendekurve entsteht versteh ich ja noch, aber was mir absolut nicht klar ist, ist wie man auf die Formel

y = \frac{a^{3}}{x^{2}} + a^{2}

kommt. Würde mich freuen, wenn mir jemand das Schritt für Schritt erklären kann. Außerdem muss ich noch eine Kurvendisskusion machen, mit Wendepunktbestimmung und Extremstellen. Die Extremstelle ist mir klar, doch irgendwie klappt das Ableiten der Formel für die Wendepunkte bei mir nicht richtig. Hat jemand Ideen? Danke im Vorraus Ralf

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Mitternachtsformel

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Krümmungsverhalten
Wendepunkte

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pleindespoir aktiv_icon

13:30 Uhr, 28.05.2011

"Hexe der Agnesi"

Magier Boskos kennt die Lösung ...

Shipwater aktiv_icon

13:46 Uhr, 28.05.2011

Versiera heißt Wendekurve und "Hexe" heißt so ähnlich im Italienischen deswegen das Missverständis mit "Hexe der Agnesi".
Zum Problem:
Nach dem Höhensatz gilt

a^{2} = y (2 r - y)

Nach dem Strahlensatz gilt

\frac{x}{2 r} = \frac{a}{y} \Leftrightarrow x^{2} y^{2} = 4 a^{2} r^{2}

Beides vereinigen ergibt:

x^{2} y^{2} = 4 y (2 r - y) r^{2} \Leftrightarrow x^{2} y^{2} = 8 y r^{3} - 4 y^{2} r^{2} \Leftrightarrow y^{2} (x^{2} + 4 r^{2}) = 8 y r^{3}

\Rightarrow y (x^{2} + 4 r^{2}) = 8 r^{3} \Leftrightarrow y = \frac{8 r^{3}}{x^{2} + 4 r^{2}}

bzw. mit

d = 2 r

dann schließlich

y = \frac{d^{3}}{x^{2} + d^{2}}

Hier in der Animation kannst du noch sehen für was mein

a

steht:
http//san-pc.hrz.uni-siegen.de/fjm/mathnat/dusthome/dateien/koorgeom/versiera.htm
Du musst dafür auf "Hilfslinien ein" klicken.
Bei Wikipedia gibt es ein Bild bei dem die Extremstelle und die Wendestellen gekennzeichnet sind: de.wikipedia.org/wiki/Versiera_der_Agnesi
Also

H (0 | d)

ist ja sowieso klar. Und auf

W_{1; 2} (\pm \frac{d}{\sqrt{3}} | \frac{3}{4} d)

solltest du jetzt als nächstes versuchen zu kommen. Wie lautet denn deine erste Ableitung von

y = \frac{d^{3}}{x^{2} + d^{2}}

?
Hinweis: Ich habe den Kreisdurchmesser jetzt

d

gennant und nicht

a,

weil in der Animation oben für

a

schon eine andere Größe vergeben war.

Gruß Shipwater

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14:31 Uhr, 28.05.2011

super! vielen dank schon mal dafür!
also meine Ableitung ist wie folgt:

y =

d³/x²+d²
Da muss man ja die Quotientenregel anwenden mit u=d³ und

v =

x²+d²
Wenn ich die dann anwende kommt raus:
y´=3d²*(x²+d²) - d³*(2x+2d) / (x²+d²)²
Dann ausmultipliziert und zusammengefasst:
y´=3d²x²

+

d⁴-2d³x / (x²+d²)²

Im Internet habe ich allerdings diese 1.Ableitung gefunden:
y´=-2d³x / (d²+x²)²

Also der Nenner ist immerhin gleich und den Zähler hab ich auch in meiner Rechnung mit drin, nur leider halt auch noch andere Zahlen.. ??

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14:35 Uhr, 28.05.2011

Bedenke, dass

d

konstant ist. Das fällt beim Ableiten also einfach weg.

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15:11 Uhr, 28.05.2011

ok. gut, und nun zur 2.Ableitung: ich schreib jetzt erstmal meinen ersten Ansatz, ob der überhaupt noch richtig ist.
y´= -2d³x

/ (

x²+d²)²
dann ist

u =

-2d³x und u´= -6d²,

v = (

x²+d²)² und v´= 2 (x²+d²)

\cdot (2 x + 2 d)

und damit ist:
y´´=-6d²

\cdot (

x²+d²)² - (-6d²)

\cdot

2(x²+d²)

\cdot (2 x + 2 d)

/((x²+d²)²)²
??
und fällt hier jetzt auch wieder 6d² weg?

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15:14 Uhr, 28.05.2011

Du hast wieder nicht beachtet, dass

d

konstant ist.

u (x) = - 2 d^{3} x

und

u' (x) = - 2 d^{3}

Du behandelst das

d

einfach wie sonst eine konstante Zahl. Und konstante Faktoren bleiben beim Ableiten ja einfach erhalten.

v (x) = {(x^{2} + d^{2})}^{2}

und versuche jetzt mal

v' (x)

korrekt zu ermitteln.

Gruß Shipwater

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15:23 Uhr, 28.05.2011

also v´=

2 (

x²+d²)

\cdot 2 x

v´= (2x²+2d²)

\cdot 2 x

v´= 4x³+ 4 d²x
Korrekt??!

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15:24 Uhr, 28.05.2011

Ja jetzt stimmt es. Aber ich würde vorerst mit

v' (x) = 4 x (x^{2} + d^{2})

rechnen.

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15:31 Uhr, 28.05.2011

Ah toll! Ein kleines Erfolgserlebnis :-) so zur 2. Ableitung.
y´´= -2d³( x²+d²)² - (-2d³x)

\cdot 4 x (

x²+d²) / (x²+d²)⁴

muss ich um zu vereinfachen erstmal die binomische Formel von (x²+d²)² lösen?

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15:32 Uhr, 28.05.2011

Nein, ich würde als erstes

x^{2} + d^{2}

kürzen. Deswegen auch der Hinweis oben, dass du die Ableitung des Nenners nicht vorschnell ausmultiplizieren solltest.

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15:37 Uhr, 28.05.2011

also:
y´´= -2d³ - (-2d³x)

\cdot

4x(x²+d²) / (x²+d²) ²

oder das
y´´= -2d³ ( x²+d²)² - (-2d³x)

\cdot 4 x

/(x²+d²) ³

?

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15:40 Uhr, 28.05.2011

Nichts von beiden. Aus Differenzen und Summen kürzen nur die

D . .

. ;-)
Du solltest vorher

x^{2} + d^{2}

im Zähler ausklammern.

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15:44 Uhr, 28.05.2011

ach ja, der bekannte Spruch aus der 8.Klasse:-)
also sieht der Zähler so aus :
(x²+d²)

[

(-2d³)* ( x²+d²) - (2d³x)*4x] ?

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15:51 Uhr, 28.05.2011

Wenn du aus dem mittleren Minus noch ein Plus machst dann ja.

y'' = \frac{- 2 d^{3} \cdot {(x^{2} + d^{2})}^{2} - (- 2 d^{3} x) \cdot 4 x \cdot (x^{2} + d^{2})}{{(x^{2} + d^{2})}^{4}} = \frac{- 2 d^{3} \cdot {(x^{2} + d^{2})}^{2} + 2 d^{3} x \cdot 4 x \cdot (x^{2} + d^{2})}{{(x^{2} + d^{2})}^{4}}

y'' = \frac{- 2 d^{3} \cdot {(x^{2} + d^{2})}^{2} + 8 d^{3} x^{2} (x^{2} + d^{2})}{{(x^{2} + d^{2})}^{4}} = \frac{(x^{2} + d^{2}) \cdot (- 2 d^{3} (x^{2} + d^{2}) + 8 d^{3} x^{2})}{{(x^{2} + d^{2})}^{4}}

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16:01 Uhr, 28.05.2011

gut und zusammengefasst ergibt das:
y´´=6d³x² - 2d⁵ / (x²+d²)³

da bin ich schon mal auf jeden Fall viel weiter als vorher. Danke dafür schon mal. Wenn du mir jetzt vielleicht noch erklären könntest, wie man nun zu den Wendepunkten kommt, wäre es perfekt!

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16:04 Uhr, 28.05.2011

(Potentielle) Wendestellen sind bekanntlich die Nullstellen der zweiten Ableitung. Und weil der Nenner wegen

d \neq 0

niemals null werden kann brauchst du lediglich die Nullstellen des Zählers zu bestimmen.

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16:11 Uhr, 28.05.2011

ok, das leuchtet mir ein.

D . h

.
6d³x² - 2d⁵= 0

Ich muss

d

wieder als eine Konstante sehen oder? Und dann x² allein auf eine Seite bringen? Verdammt, das ist alles schon so lange her, als ich den Stoff behandelt habe.

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16:18 Uhr, 28.05.2011

Du hast den Weg eigentlich schon richtig beschrieben. Wie weit kommst du denn?

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16:23 Uhr, 28.05.2011

6d³x²

- 2

d⁵

= 0

6d³x² = 2d⁵

:

6d³

x² = 2d⁵ / 6d³

x² = 2d²

/ 6

x² = d²

/ 3

\ Wurzel ziehen

x =

die Wurzel von

\frac{+}{-}

d²/ 3

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16:25 Uhr, 28.05.2011

Das stimmt.

x_{1; 2} = \pm \sqrt{\frac{d^{2}}{3}} = \pm \frac{d}{\sqrt{3}}

Das sind also (potentielle) Wendestellen.

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16:29 Uhr, 28.05.2011

Supa! Aber laut Wikipedia gibt es ja noch eine zweite. Wobei ich das garnicht verstehe, wenn ich mir die Kurve anschau, finde ich nur logisch, dass es nur 2 Wendestellen gibt.
Und noch mal eine Frage zur Herleitung zur Formel der Agnesi. Was für ein Höhensatz ist das, den du angegeben hast?

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16:34 Uhr, 28.05.2011

Ich verstehe nicht ganz. Wir haben doch auch zwei Wendestellen berechnet. Hast du dich vielleicht verschrieben?
Und bei der Herleitung der Funktionsgleichung wurde der Höhensatz des Euklid aus der Satzgruppe des Pythagoras benutzt. Also im rechtwinkligen Dreieck teilt eine Höhe

h

die Hypotenuse in die Hypotenusenabschnitte

p

und

q

. Es lässt sich beweisen, dass

h^{2} = p \cdot q

gilt.
Siehe hierzu auch: de.wikipedia.org/wiki/Satzgruppe_des_Pythagoras#H.C3.B6hensatz_des_Euklid

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16:37 Uhr, 28.05.2011

Nein, also laut Wiki. gibt es drei. einmal die beiden, die wir berechnet haben und dann noch eine bei

3 d

durch 4. Und kann ich grad nicht richtig nachvollziehen..

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16:41 Uhr, 28.05.2011

Tja das hast du falsch verstanden.

\frac{3}{4} d

ist einfach der Funktionswert an den Wendestellen. Also

W_{1} (- \frac{d}{\sqrt{3}} | \frac{3}{4} d)

und

W_{2} (\frac{d}{\sqrt{3}} | \frac{3}{4} d)

. Und außerdem steht bei Wikipedia ja auch "zwei Wendepunkte".

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16:45 Uhr, 28.05.2011

okay. Das kommt also raus, wenn man nun das Ergebnis von der 2. Ableitung wieder in die normale Funktion einsetzt oder? Ich hab immer noch eine Frage:
Ich bin grad am Nachvollziehen der agnesischen Formel. Die

x

und

y

Werte bei Höhen und Strahlensatz bilden einen Punkt auf dem Kreis ab oder? Und nicht etwa einen Punkt

P

der Wendekurve? Habe ich das richtig verstanden?

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16:51 Uhr, 28.05.2011

Ja genau, ich kann es ja mal schnell vorrechnen:

y (\pm \frac{d}{\sqrt{3}}) = \frac{d^{3}}{{(\pm \frac{d}{\sqrt{3}})}^{2} + d^{2}} = \frac{d^{3}}{\frac{d^{2}}{3} + d^{2}} = \frac{d^{3}}{\frac{4}{3} d^{2}} = \frac{3}{4} d

Und nein die

x

und y-Werte gehören natürlich zu einem beliebigen Punkt der Wendekurve. Muss ja so sein, wenn du eine Funktionsgleichung der Wendekurve ermitteln willst.

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17:19 Uhr, 28.05.2011

ja geb ich zu, ist logischer. Trotzdem versteh ich noch nicht, woher die

y (2 r - y)

kommen. Nach welcher Formel oder Regel ist das aufgestellt. Hat das nicht auch was mit Vektoren zu tun?

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17:33 Uhr, 28.05.2011

Nein. Ich habe doch schon auf den Höhensatz des Euklid verwiesen. Schau dir die Animation hier an:
http//san-pc.hrz.uni-siegen.de/fjm/mathnat/dusthome/dateien/koorgeom/versiera.htm
Nachdem du auf "Hilfslinien ein" klickst, kommt ein rotes rechtwinkliges Dreieck (rechtwinklig wegen Satz des Thales) mit den Eckpunkten

O; T

und

L

und der Höhe

a

. Wende dort den Höhensatz an und du erhältst

a^{2} = y (d - y)

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17:43 Uhr, 28.05.2011

ok gut, danke das wars erstmal. wenn ich noch fragen hab, meld ich mich :-) aber woher kannst du das alles? voll gut danke man!

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17:53 Uhr, 28.05.2011

In der Schule lernt man ja das ein oder andere. ;-) Ich wünsche dir viel Erfolg weiterhin.

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11:50 Uhr, 29.05.2011

wahrscheinlich hab ich grad einfach nur ne Denkblockade. Aber wie wird bei der Formelvereinfachung aus

8 r^{3} \to d^{3},

wenn

d = 2 r

? Müsste das nicht eigentlich

4 d^{3}

sein?

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12:54 Uhr, 29.05.2011

d = 2 r

also

d^{3} = {(2 r)}^{3} = 2 r \cdot 2 r \cdot 2 r = 8 r^{3}

Man hätte auch ganz am Anfang schon

d

anstatt

2 r

schreiben können.

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18:00 Uhr, 30.05.2011

und weißst du auch, wofür man die kurve eigentlich braucht? schön ich hab ne wendekurve von einem kreis, aber was ist der nutzen?

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18:09 Uhr, 30.05.2011

Genauso gut könnte ich auch fragen: Wofür braucht man Parabeln? Wird bestimmt irgendeinen Sinn haben, aber ich weiß da nichts in dieser Richtung.

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