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Ingtegrieren mit k und x.

Schüler

Tags: Flächeninhalt, Funktion, Integralrechnung, k>0, zweiunbekannte

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16:18 Uhr, 26.02.2017

Hallo
ich soll

k > 0

so bestimmen, sodass die Graphen der Funktion

f

und

g

eine fläche mit dem Flächeninhalt

A = \frac{125}{6}

f (x) = x^{2} + 4 x

g (x) = k \cdot (x + 4)

Zunächst wollte ich die Schnittpunkte der beiden funktionen berechnen, damit ich

k

dann mit dem Integral ausrechnen kann. Dafür habe ich die beiden funktionen gleichgesetzt. Allerdings bin ich auch nicht weit gekommen und weiß nicht mehr wie man eine solche Funktion löst.

x^{2} + 4 x = k \cdot (x + 4)

x^{2} + 4 x =

+ 4 k

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Einführung Funktionen
Flächeninhalte
Flächenmessung
Kreis: Umfang und Flächeninhalt
Kreisteile: Berechnungen am Kreis

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

Roman-22

16:24 Uhr, 26.02.2017

Bring alles auf eine Seite und fasse gleiche Potenzen von

x

zusammen:

x^{2} + (4 - k) \cdot x + (- 4 k) = 0

Eine Gleichung der Bauart

x^{2} + p \cdot x + q = 0

kannst du doch sicher lösen, oder?

rundblick aktiv_icon

16:26 Uhr, 26.02.2017

.
Vorschlag:

x^{2} + 4 x = k \cdot (x + 4)

schreib das doch mal so

\to

x \cdot (x + 4) = k \cdot (x + 4)

x \cdot (x + 4) - k \cdot (x + 4) = 0

[x - k] \cdot (x + 4) = 0

kommst du jetzt weiter ?

\to .

.

nebenbei:
komme ja nicht auf die Idee, auszumultiplizieren um dann eine quadratische Gleichung zu haben

!!

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17:19 Uhr, 26.02.2017

danke schonmal für die Hilfe.
Ich bin jetzt schon ein Stückchen weiter gekommen, aber ich kann heute scheinbar nicht vernünftig mathematisch denken.

Ich habe die Funktion jetzt in die

p - q

formel eingesetzt und wollte sie nun noch

x

auflösen aber das ging ein wenig schief.

x 1,2 = \frac{(4 - k)}{2} \pm \sqrt{{(\frac{4 - k}{2})}^{2} + 4 k}

x 1,2 = \frac{(4 - k)}{2} \pm \sqrt{\frac{{(4 - k)}^{2}}{4} + \frac{16 k}{4}}

das ganze habe ich dann immer weiter aufgelöst bis zu den binomischen formeln und bin nun bei

x 1,2 = \frac{(4 - k)}{2} \pm \sqrt{\frac{16 + k^{2} + 8 k}{4}}

gelandet und weiß nicht mehr weiter.

rundblick aktiv_icon

17:31 Uhr, 26.02.2017

.
"gelandet und weiß nicht mehr weiter.."

na ja - das hast du davon, wenn du auf

\to

"Eine Gleichung der Bauart"
eingespurt wirst..

.

Roman-22

17:31 Uhr, 26.02.2017

>

weiß nicht mehr weiter.
Nun, du hast unter der Wurzel

u . a

. richtig

{(4 - k)}^{2} = 16 - 8 k + k^{2}

gerechnet und hast nun den Ausdruck

16 + 8 k + k^{2}

stehen.
Man könnte versucht sein, zu erkennen, dass

16 + 8 k + k^{2} = {(4 + k)}^{2}

ist und man leicht davon die Wurzel ziehen kann.

Außerdem hat dir rundblick einen eleganteren Lösungsweg zur Bestimmung der beiden Nullstellen durch Faktorisierung aufgezeigt, der so leicht halt nur bei speziellen Angaben eingeschlagen werden kann.

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17:54 Uhr, 26.02.2017

Ich danke euch beiden vielmals.
Ich habe jetzt beide Varianten angewendet und komme bei beiden auf die gleichen schnittstellen

x 1 = \frac{8}{2}

und

x 2 = 0

rundblick aktiv_icon

17:58 Uhr, 26.02.2017

[x - k] \cdot (x + 4) = 0

"und komme bei beiden auf die gleichen schnittstellen

x_{1} = \frac{8}{2}

und

x_{2} =

0..."

... ... ... ... . .

. und das ist aber leider beides total falsch..

.

Roman-22

18:12 Uhr, 26.02.2017

>

und komme bei beiden auf

. .

.
Nein, das glaube ich dir nun gar nicht, dass du auch bei rundblicks Ansatz auf diese falschen Lösungen kommst.
Mit der quadratischen Gleichung kommst du deswegen auf falsche Lösungen (aber auch nie auf

x = 0),

weil du bereits in deiner Antwort um

17 : 19

einen Vorzeichenfehler zeigst.
Die Lösungsformel für quadratische Gleichung der Bauart

x^{2} + p x + q = 0

lautet doch

x_{1,2} = - \frac{p}{2} \pm . .

. und das führende Minus hast du verschusselt.

Also rechne nochmals richtig und setze nach dem

\pm

eine Klammer!
Danach kannst du dir ja überlegen, wie du aus rundblicks

(x - k) \cdot (x + 4) = 0

die beiden Lösungen sofort ablesen kannst.

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18:39 Uhr, 26.02.2017

ok scheinbar habe ich bei beiden lösungswegen das - vergessen und falsch gerechnet.

allerdings finde ich meine fehler noch nicht ganz.

wenn ich jetzt die wurzel aus

- \frac{(4 - k)}{2} \pm \sqrt{\frac{{(4 + k)}^{2}}{4}}

ziehe, dann komme ich doch auf

x 1,2 = - \frac{(4 - k)}{2} \pm \frac{(4 + k)}{2}

und dann habe ich doch

- \frac{8}{2}

und 0

und bei dem anderen lösungsweg habe ich

(x - k) \cdot (x + 4) = 0

und dann durch

(- k)

gerechnet und dann in die pq formel und dann ausgerechnet.

im nachhinein weiß ich jetzt dass das falsch war aber wie genau berechne ich das denn und wo liegt mein fehler bei der oberen aufgabe.

rundblick aktiv_icon

18:46 Uhr, 26.02.2017

.
" wie genau berechne ich das denn und wo liegt mein fehler .."

dein Fehler ist,
dass du dich stur in die blödsinnige Rechnerei mit der pq-Formel verbissen hast
und nicht bereit bist , eine kleine Spur mitzudenken.

nebenbei: deine neuen Lösungswerte sind ja immer noch zur Hälfte falsch

hier nochmal der Versuch :

es ist

\to (x - k) \cdot (x + 4) = 0

und nun solltest du darüber nachdenken

\to

WANN HAT EIN PRODUKT DEN WERT 0 ?

und schon bist du erfolgreich am Ziel

also :

x_{1} =

x_{2} =

?

.

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18:56 Uhr, 26.02.2017

ist

x = k

rundblick aktiv_icon

19:10 Uhr, 26.02.2017

.
" ist

x = k

? "

\to

Ja .. UND DIE ZWEITE LÖSUNG ?

.

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19:11 Uhr, 26.02.2017

x = - 4

rundblick aktiv_icon

19:21 Uhr, 26.02.2017

. Ja

x_{1} = - 4

x_{2} = k

welches sind dann die Koordinaten der Schnittpunkte

P_{1}

und

P_{2}

P_{1} (- 4; 0)

P_{2} (

? ; ? )

und jetzt kannst du übrigens endlich anfangen mit deiner eigentlichen Aufgabe,
bei der du allerdings die Frage noch gar nicht richtig notiert hast:

"ich soll

k > 0

so bestimmen,
sodass die Graphen der Funktion

f

und

g

eine fläche mit dem Flächeninhalt

A = \frac{125}{6}

."

...merkst du hoffentlich selbst, dass der Satz noch gar nicht richtig beendet ist ?

also

\to . .

.

.

Atlantik aktiv_icon

17:46 Uhr, 27.02.2017

Oder der altbewährte Weg über die quadratische Ergänzung:(verhindert die Verhedderung mit der

p, q

Formel)

x^{2} + (4 - k) \cdot x = 4 k | + q . E

{(\frac{4 - k}{2})}^{2} = \frac{16 - 8 k + k^{2}}{4}

x^{2} + (4 - k) \cdot x + \frac{16 - 8 k + k^{2}}{4} = 4 k + \frac{16 - 8 k + k^{2}}{4} = \frac{16 k + 16 - 8 k + k^{2}}{4} = \frac{k^{2} + 8 k + 16}{4}

{(x + \frac{4 - k}{2})}^{2} = \frac{{(k + 4)}^{2}}{4}

x_{1} = \frac{k - 4}{2} + \frac{k + 4}{2} = k

x_{2} = \frac{k - 4}{2} - \frac{k + 4}{2} = - 4

mfG

Atlantik

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