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Punkt auf Kugel bestimmen

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Tags: Kugel, Vektorgeometrie

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11:26 Uhr, 03.04.2024

Hallo zusammen

Gegeben ist die Gerade

g : \vec{r} = (\begin{matrix} 16 \\ - 16 \\ 18 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ - 1 \end{matrix})

und die Kugel

K

mit Mittelpunkt

M = (\begin{matrix} 1 \\ - 2 \\ 8 \end{matrix})

und Radius

= 5

. Im Punkt

L = (\begin{matrix} 30 \\ - 26 \\ 22 \end{matrix})

befindet sich eine punktförmige Lichtquelle.

Teilaufgabe

b :

Die Gerade

g

wird nun von der Lichtquelle beleuchtet und wirft einen Schatten auf die Kugel. Dieser Schatten ist Teil eines Kreises

k

und wird von den Punkten

P 1

und

P 2

begrenzt.

Nun soll ich einen der beiden Begrenzungspunkte

P 1

oder

P 2

bestimmen. Mein Lösungsansatz, welcher als Bild angehängt ist, liefert mir jedoch nicht dir richtige Lösung.

Teilaufgabe

c :

Hier wird der Schatten

S

der Kugel in der XY-Ebene betrachtet. Wenn sich die Lichtquelle im Punkt

L

befindet, liegt der Koordinatenursprung auserhalb dieses Schattens. Nun wird die Lichtquelle, ausgehend vom punkt

L

in Richtung des Vektors LM verschoben bis der Koordinatenursprung auf dem Rand des Schattens

S

liegt.

Nun soll ich ich herausfinden in welchem Punkt die Lichtquelle dafür liegen muss. Leider liefert mir mein Ansatz unendlich viele Lösungen. Weshalb ich davon ausgehe dass er nicht ganz korrekt ist.

Meine Lösungsansätze habe ich als Bild angehängt. Sowie die korrekten Lösungen.

Habt ihr eine Idee was ich falsch mache oder einen besseren Lösungsansatz?

Vielen Dank

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Kugel (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Oberfläche und Volumen von Kugel, Kegel und Zylinder

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

KartoffelKäfer aktiv_icon

09:06 Uhr, 04.04.2024

Hier meine ersten Ergebnisse:

a)

Mit ein bisschen Trigonometrie und der Kugelkalottenmantelflächenformel von Wikipedia findet man

\frac{10 π (5 - \frac{25}{| M - L |})}{100 π} = \frac{π (5 - \frac{25}{| (\begin{matrix} 1 \\ - 2 \\ 8 \end{matrix}) - (\begin{matrix} 30 \\ - 26 \\ 22 \end{matrix}) |})}{10 π} = \frac{π (1 - \frac{5}{\sqrt{{(- 29)}^{2} + 24^{2} + {(- 14)}^{2}}})}{2 π} \approx 0.43775236941

b)

Der Schatten von

g

lässt sich parametrisieren durch

s : (1, \infty) \times R \to R^{3}, (\begin{matrix} q \\ t \end{matrix}) \mapsto L + q (g (t) - L)

= (\begin{matrix} 30 \\ - 26 \\ 22 \end{matrix}) + q ((\begin{matrix} 16 \\ - 16 \\ 18 \end{matrix}) + t (\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ - 1 \end{matrix}) - (\begin{matrix} 30 \\ - 26 \\ 22 \end{matrix}))

= (\begin{matrix} 30 \\ - 26 \\ 22 \end{matrix}) + q (\begin{matrix} - 14 \\ 10 \\ - 4 \end{matrix}) + q t (\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ - 1 \end{matrix})

.

Das ist eine (Teil-)Ebene mit der Normale

n := (\begin{matrix} - 14 \\ 10 \\ - 4 \end{matrix}) \times (\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ - 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix} - 6 \\ - 18 \\ - 24 \end{matrix})

.

Mit

d := n \frac{(M - L) \cdot n}{{| n |}^{2}}

= (\begin{matrix} - 6 \\ - 18 \\ - 24 \end{matrix}) \frac{((\begin{matrix} 1 \\ - 2 \\ 8 \end{matrix}) - (\begin{matrix} 30 \\ - 26 \\ 22 \end{matrix})) \cdot (\begin{matrix} - 6 \\ - 18 \\ - 24 \end{matrix})}{{| (\begin{matrix} - 6 \\ - 18 \\ - 24 \end{matrix}) |}^{2}}

= (\begin{matrix} - 6 \\ - 18 \\ - 24 \end{matrix}) \frac{(\begin{matrix} - 29 \\ 24 \\ - 14 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} - 6 \\ - 18 \\ - 24 \end{matrix})}{{(- 6)}^{2} + {(- 18)}^{2} + {(- 24)}^{2}}

= (\begin{matrix} - 6 \\ - 18 \\ - 24 \end{matrix}) \frac{29 \cdot 6 - 24 \cdot 18 + 14 \cdot 24}{{(- 6)}^{2} + {(- 18)}^{2} + {(- 24)}^{2}}

= (\begin{matrix} - \frac{1}{2} \\ - \frac{3}{2} \\ - 2 \end{matrix})

kann man

M_{k} := M - d = (\begin{matrix} 1 \\ - 2 \\ 8 \end{matrix}) - (\begin{matrix} - \frac{1}{2} \\ - \frac{3}{2} \\ - 2 \end{matrix}) = (\begin{matrix} \frac{3}{2} \\ - \frac{1}{2} \\ 10 \end{matrix})

und

ρ := \sqrt{r^{2} - {| d |}^{2}}

= \sqrt{25 - {| (\begin{matrix} - \frac{1}{2} \\ - \frac{3}{2} \\ - 2 \end{matrix}) |}^{2}}

= \sqrt{25 - {(- \frac{1}{2})}^{2} - {(- \frac{3}{2})}^{2} - {(- 2)}^{2}} \approx 4,30116

bestimmen.

Bem.: Die richtige Richtung

(d

addieren oder subtrahieren)

bei der Berechnung von

M_{k}

findet man

z . B

. durch

(\begin{matrix} 1 \\ - 2 \\ 8 \end{matrix}) \pm (\begin{matrix} - \frac{1}{2} \\ - \frac{3}{2} \\ - 2 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 30 \\ - 26 \\ 22 \end{matrix}) + a (\begin{matrix} - 14 \\ 10 \\ - 4 \end{matrix}) + b (\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ - 1 \end{matrix}),

also

(\begin{matrix} - 14 & 1 & | - 29 \pm \frac{1}{2} \\ 10 & 1 & | 24 \pm \frac{3}{2} \\ - 4 & - 1 & | - 14 \pm 2 \end{matrix}) \Leftrightarrow (\begin{matrix} - 18 & 0 & | - 43 \pm \frac{5}{2} \\ 6 & 0 & | 10 \pm \frac{7}{2} \\ - 4 & - 1 & | - 14 \pm 2 \end{matrix}) \Leftrightarrow (\begin{matrix} 0 & 0 & | - 13 \pm 13 \\ 6 & 0 & | 10 \pm \frac{7}{2} \\ - 4 & - 1 & | - 14 \pm 2 \end{matrix})

und somit

(\begin{matrix} 1 \\ - 2 \\ 8 \end{matrix}) - (\begin{matrix} - \frac{1}{2} \\ - \frac{3}{2} \\ - 2 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 30 \\ - 26 \\ 22 \end{matrix}) + \frac{9}{4} (\begin{matrix} - 14 \\ 10 \\ - 4 \end{matrix}) + 3 (\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ - 1 \end{matrix}) = s (\frac{9}{4}, \frac{4}{3})

Mathe45

09:43 Uhr, 04.04.2024

Direkter Rechenweg:
Setzt man die Koordinaten von

L

in die Spaltform der Kugelgleichung ein, so erhält man die Potenzebene bez.

L (

siehe Eigenschaften ). Durch

L

und der gegebenen Geraden ist ebenfalls eine Ebene definiert

(x + 3 \cdot y + 4 \cdot z = 40)

.

Die Schnittgerade dieser beiden Ebenen bestimmen und ihrerseits mit der Kugel geschnitten liefert direkt die gesuchten Punkte.
Eine Bestimmung des Schnittkreises wäre dafür nicht notwendig.

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15:55 Uhr, 04.04.2024

Vielen Dank Mathe

45

und Kartoffelkäfer. Ihr habt mir sehr geholfen.

Für einen Ansatz zur Teilaufgabe

c

wäre ich weiterhin sehr dankbar. Ich komm einfach nicht drauf.

maxsymca

16:16 Uhr, 04.04.2024

Hm,
zu Fuß möcht ich das nicht rechnen - hab deshalb GeoGebra CAS beauftragt:
Deine Lösungen stimmen - so weit ich das sehe versuchst Du die Kugel zu treffen und du müsstest berücksichtigen, dass die Lichtstrahlen Tangenten sind - also mit dem Radius-Vektor einen rechten Winkel bilden

Bei Interesse an der Datei - Rückmeldung?

GeradeLichtquelleSchattenKugel.ggb_2024-04-04_16-09-58

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17:08 Uhr, 04.04.2024

Hallo Maxsymca

Ja, genau. Leider weiss ich nicht wie ich dass berechnen kann. Ich habe die Potenzebene für den Ursprung berechnet. Woher weiss man aber nun welcher Punkt auf der Ebene derjenige ist, welcher durch die Verbindungsgerade von

L

und

M

geht.

maxsymca

19:53 Uhr, 04.04.2024

z . B :

(x, y, z)

Punkt auf Kugel, rechter Winkel: Radius

⊥

Lichtstrahl, in Ebene

E

{((x, y, z) - M)}^{2} = r^{2},

((x, y, z) - M) ((x, y, z) - L) = 0

(- 6, - 18, - 24) (x, y, z) + 240 = 0

3 Gleichungen

{x^{2} + y^{2} + z^{2} - (2 \cdot x) + (4 \cdot y) - (16 \cdot z) + 69 = 25,

x^{2} + y^{2} + z^{2} - (31 \cdot x) + (28 \cdot y) - (30 \cdot z) + 258,

(- 6 \cdot x) - (18 \cdot y) - (24 \cdot z) + 240}

{{x = - 1.059307392247, y = - 2.927893869632, z = 12.46074725029},

{x = 4.715703283937, y = 1.340592282331, z = 7.815629967268}}

oder
Die Potenzebene durch

L, M

(nicht Ursprung

((x, y, z) - M) (L - M) -

r²

= 0

KartoffelKäfer aktiv_icon

21:07 Uhr, 04.04.2024

Ich mache da weiter, wo ich aufgehört habe:

Falls

s (q, t) = P_{1,2},

gilt

(s (q, t) - L) \cdot (s (q, t) - M) = 0

sowie

{| s (q, t) - M |}^{2} = r^{2},

also

(q (\begin{matrix} - 14 \\ 10 \\ - 4 \end{matrix}) + q t (\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ - 1 \end{matrix})) \cdot ((\begin{matrix} 30 \\ - 26 \\ 22 \end{matrix}) + q (\begin{matrix} - 14 \\ 10 \\ - 4 \end{matrix}) + q t (\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ - 1 \end{matrix}) - (\begin{matrix} 1 \\ - 2 \\ 8 \end{matrix})) = 0,

{| (\begin{matrix} 30 \\ - 26 \\ 22 \end{matrix}) + q (\begin{matrix} - 14 \\ 10 \\ - 4 \end{matrix}) + q t (\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ - 1 \end{matrix}) - (\begin{matrix} 1 \\ - 2 \\ 8 \end{matrix}) |}^{2} = 25,

\Leftrightarrow

(a (\begin{matrix} - 14 \\ 10 \\ - 4 \end{matrix}) + b (\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ - 1 \end{matrix})) \cdot ((\begin{matrix} 29 \\ - 24 \\ 14 \end{matrix}) + a (\begin{matrix} - 14 \\ 10 \\ - 4 \end{matrix}) + b (\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ - 1 \end{matrix})) = 0,

{| (\begin{matrix} 29 \\ - 24 \\ 14 \end{matrix}) + a (\begin{matrix} - 14 \\ 10 \\ - 4 \end{matrix}) + b (\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ - 1 \end{matrix}) |}^{2} = 25

mit

a := q, b := q t,

\Leftrightarrow

(- 14 a + b) (29 - 14 a + b) + (10 a + b) (- 24 + 10 a + b) + (- 4 a - b) (14 - 4 a - b) = 0,

{(29 - 14 a + b)}^{2} + {(- 24 + 10 a + b)}^{2} + {(14 - 4 a - b)}^{2} = 25

\Leftrightarrow

(I) 312 a^{2} - 702 a + 3 b^{2} - 9 b = 0,

(I I) 312 a^{2} - 1404 a + 3 b^{2} - 18 b + 1588 = 0

(I I) - (I)

liefert

- 702 a - 9 b + 1588 = 0 \Leftrightarrow b = - \frac{702}{9} a + \frac{1588}{9} = - 78 a + \frac{1588}{9}

und das in

(I)

eingesetzt dann

312 a^{2} - 702 a + 3 {(- 78 a + \frac{1588}{9})}^{2} - 9 (- 78 a + \frac{1588}{9}) = 0 \Leftrightarrow a = \frac{794}{357} \pm \frac{\sqrt{\frac{14689}{13}}}{1071}

und das wiederum

b = - 78 (\frac{794}{357} \pm \frac{\sqrt{\frac{14689}{13}}}{1071}) + \frac{1588}{9} = \frac{1588}{9} - 78 (\frac{794}{357} \pm \frac{\sqrt{\frac{14689}{13}}}{1071})

.

Damit berechnen wir nun

P_{1} = (\begin{matrix} 30 \\ - 26 \\ 22 \end{matrix}) + (\frac{794}{357} + \frac{\sqrt{\frac{14689}{13}}}{1071}) (\begin{matrix} - 14 \\ 10 \\ - 4 \end{matrix}) + (\frac{1588}{9} - 78 (\frac{794}{357} + \frac{\sqrt{\frac{14689}{13}}}{1071})) (\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ - 1 \end{matrix})

\approx (\begin{matrix} - 1,05931 \\ - 2,92789 \\ 12,4607 \end{matrix}),

P_{2} = (\begin{matrix} 30 \\ - 26 \\ 22 \end{matrix}) + (\frac{794}{357} - \frac{\sqrt{\frac{14689}{13}}}{1071}) (\begin{matrix} - 14 \\ 10 \\ - 4 \end{matrix}) + (\frac{1588}{9} - 78 (\frac{794}{357} - \frac{\sqrt{\frac{14689}{13}}}{1071})) (\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ - 1 \end{matrix})

\approx (\begin{matrix} 4,7157 \\ 1,34059 \\ 7,81563 \end{matrix})

(In der Musterlösung umgekehrt indiziert).

So, das waren nun

a)

und

b),

jetzt erstmal Pause.

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03:58 Uhr, 05.04.2024

c)

Sei

L' = L + q (M - L)

für ein

q \in [0,1]

die Lösung, also die Position der verschobenen Lichtquelle wie gewünscht.

Dann gilt für ein

p \in [0,1],

dass

{| L' + p ((\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}) - L') - M |}^{2} = r^{2}

sowie

(L' + p ((\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}) - L') - L') \cdot (L' + p ((\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}) - L') - M) = 0,

also

(I) {| L' - p L' - M |}^{2} = (L' - p L' - M) \cdot (L' - p L' - M) = 25,

(I I) - p L' \cdot (L' - p L' - M) = 0

(I) - (I I)

liefert

(L' - M) \cdot (L' - p L' - M) = {| L' - M |}^{2} - p (L' - M) \cdot L' = 25

\Leftrightarrow

p = \frac{{| L' - M |}^{2} - 25}{(L' - M) \cdot L'}

.

Und das mit

(I I)

dann

- \frac{{| L' - M |}^{2} - 25}{(L' - M) \cdot L'} L' \cdot (L' - \frac{{| L' - M |}^{2} - 25}{(L' - M) \cdot L'} L' - M) = 0

\Leftrightarrow

{(\frac{{| L' - M |}^{2} - 25}{(L' - M) \cdot L'})}^{2} {| L' |}^{2} - {| L' - M |}^{2} + 25 = 0

\Leftrightarrow

{(\frac{{(1 - q)}^{2} {| L - M |}^{2} - 25}{(1 - q) (L - M) \cdot (L + q (M - L))})}^{2} {| L + q (M - L) |}^{2} - {(1 - q)}^{2} {| L - M |}^{2} + 25 = 0

\Leftrightarrow

{(\frac{1613 {(1 - q)}^{2} - 25}{(1 - q) (\begin{matrix} 29 \\ - 24 \\ 14 \end{matrix}) \cdot ((\begin{matrix} 30 \\ - 26 \\ 22 \end{matrix}) + q (\begin{matrix} - 29 \\ 24 \\ - 14 \end{matrix}))})}^{2} {| (\begin{matrix} 30 \\ - 26 \\ 22 \end{matrix}) + q (\begin{matrix} - 29 \\ 24 \\ - 14 \end{matrix}) |}^{2} - 1613 {(1 - q)}^{2} + 25 = 0

\Leftrightarrow

(I I I) {(\frac{1613 {(1 - q)}^{2} - 25}{(1 - q) (29 \cdot (30 - 29 q) - 24 \cdot (- 26 + 24 q) + 14 \cdot (22 - 14 q))})}^{2}

({(30 - 29 q)}^{2} + {(- 26 + 24 q)}^{2} + {(22 - 14 q)}^{2}) - 1613 {(1 - q)}^{2} + 25 = 0

\Rightarrow

q = \frac{30526}{35251} - \frac{20 \sqrt{207834}}{35251}

.

Und in der Tat gilt

L' = L + q (M - L) = (\begin{matrix} 30 \\ - 26 \\ 22 \end{matrix}) + (\frac{30526}{35251} - \frac{20 \sqrt{207834}}{35251}) (\begin{matrix} - 29 \\ 24 \\ - 14 \end{matrix}) \approx (\begin{matrix} 12,388 \\ - 11,4246 \\ 13,4977 \end{matrix})

.

Bem.: Die vollständige Menge der Lösungen von

(I I I)

ist

{1 \pm \frac{5}{\sqrt{1613}}, \frac{30526}{35251} \pm \frac{20 \sqrt{207834}}{35251}}

.

Für

q = 1 \pm \frac{5}{\sqrt{1613}}

liegt

L'

wahrscheinlich auf der Kugeloberfläche

und für

q = \frac{30526}{35251} + \frac{20 \sqrt{207834}}{3525}

hat man wahrscheinlich den surrealen Fall,

dass die Lichtquelle zwischen Schatten und Schattenspender liegt (siehe Anhang).

Ich habe hier fertig und überlasse es anderen,

das genauer zu betrachten.

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20:20 Uhr, 05.04.2024

Vielen Dank euch allen. Ihr habt mir sehr geholfen. Ich habe durch diese Aufgabe viel gelernt.

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