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Stammfunktion zu 4x/((x^2+4)(x^2+1))

Universität / Fachhochschule

Integration

Tags: Integration

Tschude aktiv_icon

23:50 Uhr, 19.12.2014

Hallo, ich steh total auf dem schlauch..
Ich soll die funktion

f (x) = \frac{4 \cdot x}{(x^{2} + 4) \cdot (x^{2} + 1)}

integrieren.
Die Lösung habe ich gegeben:

F (x) = \frac{2}{3} (ln (x^{2} + 1) - ln (x^{2} + 4)) + c

Ich denke, dass ich mit Substution arbeiten muss. Allerdings komm ich nicht klar, dass im Nenner zwei Klammern mit jew. einem

x^{2}

stehen.
Kann mir jemand den ausführlichen Rechenweg beschreiben?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Bestimmtes Integral (Mathematischer Grundbegriff)
Stammfunktion (Mathematischer Grundbegriff)

Shipwater aktiv_icon

23:52 Uhr, 19.12.2014

Partialbruchzerlegung

Tschude aktiv_icon

00:00 Uhr, 20.12.2014

Also substituiere ich erst

x^{2} = z

und mache dann Partialbruchzerlegung?
durch das quadrat wird A und

B

bei der Zerlegung nämlich nie

0 .

rundblick aktiv_icon

00:44 Uhr, 20.12.2014

\int \frac{4 x}{(x^{2} + 1) \cdot (x^{2} + 4)} d x = . .

.

"
Also substituiere ich erst

x^{2} = z

und mache dann Partialbruchzerlegung?"

... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .

. Nein

in diesem Fall solltest du so vorgehen:

\frac{4 x}{(x^{2} + 1) \cdot (x^{2} + 4)} = 4 x \cdot [\frac{1}{(x^{2} + 1) \cdot (x^{2} + 4)}]

und jetzt zunächst für

\frac{1}{(x^{2} + 1) \cdot (x^{2} + 4)}

mit dem Ansatz

\frac{1}{(x^{2} + 1) \cdot (x^{2} + 4)} = \frac{A}{x^{2} + 1} + \frac{B}{x^{2} + 4} .

\to A

und

B

ermitteln

am Schluss wirst du dann

\int [2 A \cdot \frac{2 x}{x^{2} + 1} + 2 B \cdot \frac{2 x}{x^{2} + 4}] d x =

problemlos ermitteln können..

probiers

\to . .

.

.

abakus

14:50 Uhr, 20.12.2014

"Also substituiere ich erst
x²=z und mache dann Partialbruchzerlegung?"

"................................... Nein"

Das "Nein" ist eine auf das eigene Vorgehen fixierte Antwort.
Generell ist dieses "Nein" eine falsche Antwort, denn auch die vorgeschlagene Substitution ist ein erster Schritt eines möglichen anderen Lösungswegs.

Loewe1

18:03 Uhr, 20.12.2014

Hallo,

Kann mir jemand den ausführlichen Rechenweg beschreiben? ja

:-)

Bei nicht reellen Nullstellen im Nenner erfolgt der Ansatz so:

\frac{x}{(x^{2} + 4) (x^{2} + 1)} = \frac{A x + B}{x^{2} + 4} + \frac{C x + D}{x^{2} + 1}

Danach werden beide Seiten mit dem Hauptnenner multipliziert.

Dann erfolgt ein Koeffizientenvergleich:

Das bedeutet, Du nimmst Dir zuerst das

x^{3}

auf beiden Seiten vor.

Du siehst , links kommt es 0 Mal vor und rechts

A + C

Mal, usw.

Eine gute Hilfe ist auch dieser Link:

http//www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/partialbruchzerlegung.htm

PS: der Faktor 4 wurde absichlich erstmal weggelassen und zum Schluß berücksichtigt.

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