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Unstetigkeiten der Sinusfunktion

Universität / Fachhochschule

Tags: Hebbare Lücken

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16:16 Uhr, 03.08.2017

Wir sollen eine Funktion Zeichnen und beschreiben doch ich bin etwas ratlos mal wieder!

f :

{

\to R

x \to f (x) := {- 1,

falls xE Z\

{

0} sonst, sin(PI

x)

Weiß jemand wie man das Zeichnet und gibt es da vielleicht sogar ein Programm für?
Die nächste Frage ist ob

f

stetig, stetig ergänzbar oder hebbar unstetig ist?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Sinusfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Allgemeine Sinusfunktion (Mathematischer Grundbegriff)

rundblick aktiv_icon

16:33 Uhr, 03.08.2017

.
x→f(x):=

{

-1, falls xE Z\{0} sonst, sin(PI

x)

\to

hast du das richtig aufgeschrieben ? ? ?

\to

du wirst es wohl schaffen

y = sin (π \cdot x)

zu zeichnen
(oder dir zumindest zeichnen zu lassen, erstmal für alle

x \in ℝ)

\to

wo hat

y = sin (π \cdot x)

die Nullstellen?

... \Rightarrow x \in

\to

welchen Wert hat dein

f (x)

für diese x-Werte?

fast fertig..
.

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17:27 Uhr, 03.08.2017

wow du bist ja schneller als die Polizei erlaubt

=)

also ich kann den Sinus zeichnen doch hab da jetzt schon eine Frage denn auf der

x

Achse steht doch normal Rad oder?
So meine ich das:
assets.serlo.org/legacy/2600_i69aYWFs8q.png

Dort kann man für die Positiven Werten ja die Nullstellen schon ablesen:
Nullstelle

1 : 0

Nullstelle 2: PI
Nullstelle 3: 2PI

für Negative Zahlen dann natürlich -PI und - 2PI da der Sinus 2PI Periodisch ist wiederholt es sich ja schön.

Was das jetzt mit der

- 1

bei

x

€ Z\

{

0} heißt verstehe ich nicht so ganz wäre dann ab 0 nur noch ein Strich für die -Zahlen? So das man die Sinusfunktion nur in den Positiven Zahlenstrang zeichnet und ab der Negativen Seite einfach bei

- 1

einen Strich zeichnet?
Dann würde die Funktion doch von links kommend bei

- 1

bis zur 0 Laufen und dann hoch auf die Nullstelle 0 Springen oder? danach ganz normal mit dem Sinus weiter verfahren?

LG

ledum aktiv_icon

17:47 Uhr, 03.08.2017

Hallo
zeichne einfach

sin (π \cdot x)

und an den ganzzahligen Stellen einen kleinen Unterbrechungspunkt, wo

- 1

nicht auf der Kurve liegt und dazu einen Punkt bei

- 1

Gruß ledum

rundblick aktiv_icon

18:26 Uhr, 03.08.2017

.

"also ich kann den Sinus zeichnen"

echt super
.. aber du sollst nicht

y = sin (x)

zeichnen - sondern

\to y = sin (π \cdot x)

.. und zwar erst mal für

a l l e \to x \in ℝ

und damit du selbst kein Rad schlagen musst

\to

.. hier der Tipp: stelle deinen Rechner (den du aber eigentlich für die triviale Zeichnung
.. gar nicht brauchen solltest

) .

. auf

\to

rad ein..

Beispiele :
bei

x = 1 \Rightarrow y = sin (π \cdot 1) = sin (π) = 0

bei

x = \frac{1}{6} \Rightarrow y = sin (\frac{π}{6}) = \frac{1}{2}

bei

x = \frac{3}{2} \Rightarrow y = sin (\frac{3 π}{2}) = - 1

usw..usw..

und zum Nachdenken:
durch welche Abbildung geht der Graph von

\to y = sin (x)

über in den Graphen von

\to y = sin (π \cdot x)

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21:14 Uhr, 07.08.2017

Also ich verstehe es immer noch nicht!

Erkenne da keinen Unterschied es ist die ganz normale Sinusfunktion weiß einfach nicht mehr weiter.
trotzdem danke für eure Hilfe!

ledum aktiv_icon

21:59 Uhr, 07.08.2017

Hallo
keine Ahnung, was "die ganz normale"

sin -

Funktion ist. In der Graphik die grüne oder die rote? In deiner Aufgabe geht es um die rote.
Gruß ledum

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22:17 Uhr, 07.08.2017

⊙ O

hätte das ganz anders gemacht.
Hab einfach die Normale Sinusfunktion gemalt und die werte eingesetzt doch die sieht eben aus wie die normale Sinusfunktion und nicht so gequetscht :-D)

wie ermittelt man nun das das teil stetig, ergänzbar oder hebbar ist?

ledum aktiv_icon

23:46 Uhr, 07.08.2017

Hallo
du siehst doch sie schwarzen Punkte bei

- 1

und den ganzen Zahlen. Ist die Fkt da stetig? wenn nicht, kann man das beheben? gibt es einen Punkt an dem die

- 1

genau auf der Kurve von

sin (π \cdot x)

liegt
Gruß ledum

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11:35 Uhr, 17.08.2017

ja okay die Zeichnung ist klasse

=)

doch ich hab immer noch Probleme mit den Definitionen von Stetigkeit, stetig ergänzbar etc.

kann mir das vielleicht mal jemand an diesem Beispiel erklären? Denn in allen Büchern wo ich das nachlese steht es fast immer gleich und daraus werde ich irgendwie nicht wirklich schlau

: (

ledum aktiv_icon

12:33 Uhr, 17.08.2017

Hallo
natürlich ist Stetigkeit ein ziemlich abstrakter Begriff, weil da in der Definition ein

ε

und ein

δ

vorkommt.
Stetigkeit an der Stelle

x_{0} :

man darf ein beliebiges

ε > 0

vorgeben, dann muss es eine kleine Umgebung von

x_{0}

geben, -die man durch

| x - x_{0} | < δ

beschreibt-, in der sich die Funktionswerte höchstens um

ε

unterscheiden.
Jetzt sehen wir deine Funktion

z . B

bei

x_{0} = 1

an wir wissen

f (x_{0}) = f (1) = - 1

nach Definition weil

1 \in ℤ

. jetzt nehmen wir ein

ε z, B,

ε = 0,01

und suchen ob wir eine Umgebung von

x_{0}

finden sodass

| - 1 - f (x) | < 0,01

wenn wir ein passendes

δ

angeben.|1-x|<\delta
also

1 - δ < x < 1 + δ

wir sehen uns also

sin (π \cdot x)

in der Nahe von

x = 1

an.

sin (π \cdot 1) = 0, | \frac{sin (π \cdot (1 \pm δ))}{<} δ d . h

| - 1 \pm δ | > 0,01

egal wie klein ich

Δ

wähle.
die Funktion "springt" also bei

x = 1

auf den Wert

- 1

während sie in der Umgebung von

1

in der Nähe von 0 liegt. Man sagt die Funktion hat bei

x_{0} = 1

eine Sprungstelle. ist also unstetig. und das kann man mt dieser Definition der Funktion auch nicht ändern.
Man müsste die Definition der Funktion ändern, um sie stetig zu machen.
webbar sind meist Unstetigkeitsstellen, bei denen die Funktion nur ein "Loch" hat
Beispiel

f (x) = \frac{x^{2} - 1}{x + 1}

diese Funktion ist an der Stelle

x = - 1

(Nenner=0) nicht definiert. aber in der Nähe von

x = 1

ist sie nahe bei ß. da man für

x \neq 1 f (x) = x - 1

schreiben kann. hier kann man also die Unstetigkeit beheben, indem man sagt

f (- 1) = - 2

Vorstellung; fahr an der Funktion mit einem kleinen Intervall in

y

Richtung entlang, dann müssen alle Werte in einem kleinen Bereich von

x

Werte liegen.
natürlich ist deine Funktion an allen Stellen

x

inRR\

{

ZZ} stetig.
Gruß ledum

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16:01 Uhr, 17.08.2017

vielen Dank für den tollen Beitrag leider verstehe ich es weiterhin nicht

= (

Denke das ich dieses Thema weg lasse doch leider geht es ja weiter mit Differenzierung, Kurvendiskussion und Integral Rechnung und dabei brauch ich doch auch das nicht wahr

: (

ledum aktiv_icon

20:10 Uhr, 17.08.2017

Hallo
um zu lernen muss man mindestens formulieren, was man nicht versteht! also sag das mal genauer.
dass eine Funktion, die an einer Stelle auf einen anderen Wert springt nicht stetig ist, sollte doch einleuchten.
Gruß ledum

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22:23 Uhr, 17.08.2017

So hab das ganze jetzt im Papula zu Tausenstenmal glaube ich gelesen und denke das ich jetzt langsam dahinter komme :-D)

Dort steht:
1.

f (x)

ist an der Stelle

x 0

nicht definiert, hat dort also eine Definitionslücke = Hebbare Lücke
2. Der Grenzwert von

f (x)

an der Stelle

x 0

ist nicht vorhanden = Unendlichkeitsstelle Pol
3. Funktionswert

f (x 0)

und Grenzwert

g

sind zwar vorhanden, jedoch voneinander
verschieden,

d

h

. es gilt

f (x 0) \neq g

. = Sprung

Denke das sollte jetzt soweit korrekt sein oder?
So jetzt sieht man anhand des Bildes ja das die Funktion bei

1,2,3, - 1, - 2, . .

. etc eine Lücke besitzt und zu

- 1

Springt.

Doch wie zeig ich sowas also wie rechne ich das jetzt aus?

LG

ledum aktiv_icon

12:32 Uhr, 18.08.2017

Hallo
du berechnest den GW

x \to z,

mit

z \in ℤ

also ganz für

sin (π \cdot x)

und dass das an Alen Genzen Stellen gegen 0 geht, weiss man von der sin Funktion.
Gruß ledum

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