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"Verkettete" ln Funktion mit einer Wurzel

Universität / Fachhochschule

Funktionen

Tags: Funktion

Ricci78 aktiv_icon

17:21 Uhr, 17.09.2012

Hallo liebes Team :)

Ich bin absolut neu hier bei euch und wollte fragen ob ihr mir vielleicht helfen könntet :

Ich muss von dieser Funktion hier folgendes wissen :

den Definitionsbereich von f,
bei welchen x aus dem Definitionsbereich die Funktion f monoton wächst ...
und die 2te Ableitung von f nach x
f(x) = ln ( $\sqrt{x² - 16}$ - 3 ) Habe mich online nach einem Lösungsweg erkundigt ... bin aber leider nicht fündig geworden .Bin für jede Hilfe wirklich sehr sehr dankbar !!

Habe auch soeben gerade herrausgefunden , dass 5 großer als 0 sein soll im Nenner !

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)
n-te Wurzel
Wurzel (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Einführung Funktionen

Shipwater aktiv_icon

19:59 Uhr, 17.09.2012

Hi,

die Wurzel ist im Reellen nur für nichtnegative Radikanden definiert. Also ist eine Bedingung schon mal

x^{2} - 16 \geq 0

. Hinzu kommt, dass der (natürliche) Logarithmus im Reellen nur für positive Zahlen definiert ist. Die zweite Bedingung ist also

\sqrt{x^{2} - 16} - 3 > 0

. Es liegt nun an dir diese beiden Ungleichungen zu lösen und ihre Lösungsmengen zu schneiden.

Gruß Shipwater

Ricci78 aktiv_icon

22:02 Uhr, 17.09.2012

Hallo Shipwater ,

Das bedeutet also , mich interessiert von der Funktion durch die zwei Bedingungen am Ende nur der Bereich , wo die Funktion mit x positiv ist ( bedingt durch ln ) ?

D ] -unendlich , -5 [ U ] 5 , +unendlich [ ?

Aber zugegeben ; das habe ich jetzt nur durch probieren herrausgefunden ... lg !

Underfaker aktiv_icon

22:14 Uhr, 17.09.2012

Also wenn du es so ausdrückst dann nicht.

Interessant ist, für welche

x

der Term im Logarithmus positiv ist.

Also

\sqrt{x^{2} - 16} - 3 > 0

das bedeutet

\sqrt{x^{2} - 16} > 3 | {()}^{2} \Rightarrow x^{2} - 16 > 9

Vielleicht möchtest du mal probieren diesen Ansatz weiter fortzuführen?

Denn mit Probieren kommt man ja nicht immer ans Ziel.

PS: Zwar unschön aber der Definitionsbereich stimmt.

Den Teil:

x^{2} - 16 \geq 0

hättest du aber sicher hinbekommen (auch wenn er bereits abgedeckt ist)?!

Ricci78 aktiv_icon

22:31 Uhr, 17.09.2012

"für welche $x$ der Term im Logarithmus positiv ist" ... Ich glaube ich wollte es genau "so" ausdrücken ... verzeiht mir bitte ... ;)

und bei Punkt 2 interessiert mich ja auch nur ...für welche x aus D monoton wachsend sind , oder ? das heißt ; Steigung -> 1 Ableitung ... allerdings "nur" ab ( und ohne ) der 5 , oder ?

Underfaker aktiv_icon

22:34 Uhr, 17.09.2012

Wieder etwas merkwürdig ausgedrückt allerdings inhaltlich korrekt.

\forall x \in ℝ

mit

x > 5 : f

streng monoton steigend

Ricci78 aktiv_icon

22:47 Uhr, 17.09.2012

Jetzt weiß ich auch noch , dass wenn man beispielsweiße eine Funktion mit ln ableiten würde ... Bsp. f(x) = ln(2x-5) abgeleitet auf f´(x) = (2)/(2x-5) kommt ... aber hier kann ich das eben nicht so richtig anwenden ... oder ich mache etwas grundlegendes komplett falsch oder erkenne etwas einfach nicht .

Underfaker aktiv_icon

22:49 Uhr, 17.09.2012

Was kannst du nicht anwenden?

Ricci78 aktiv_icon

22:52 Uhr, 17.09.2012

ln ( (x²-16)^0,5 - 3 )

Underfaker aktiv_icon

22:59 Uhr, 17.09.2012

Frage: "Was kannst du nicht anwenden"

Antwort: "

ln (

(x²-16)^0,5

- 3)

"

Tja ich bin nicht sicher, möchtest du vielleicht die Wand damit streichen?
Oder wie willst du

ln (

(x²-16)^0,5

- 3)

anwenden?

Ich denke du meinst etwas Anderes, formulier das mal mit Worten.

Ricci78 aktiv_icon

23:04 Uhr, 17.09.2012

$f' (x) = u' (v (x)) \cdot v' (x)$

Underfaker aktiv_icon

23:08 Uhr, 17.09.2012

Rechne doch mal vor, dann sehe ich vielleicht wo dein problem ist.

Ricci78 aktiv_icon

23:38 Uhr, 17.09.2012

ich rechne mit

g (x) = ln (x)

h (x) = ( ((x²-16)^0,5)-3)

g´(x) = 1/x

h´(x) = (2x)^0,5 ... aber das stimmt bestimmt nicht ...

Ricci78 aktiv_icon

23:53 Uhr, 17.09.2012

Es soll laut Nachhilfelehrer exakt so aussehen ,

aber ich verstehe leider nicht genau "warum"

x/[ ( ((x²-16)^0,5)-3)*(((x²-16)^0,5)) ]

Underfaker aktiv_icon

08:48 Uhr, 18.09.2012

({log}_{a} (b))' = \frac{1}{b \cdot ln (a)} \cdot b'

alles klar?

f' (x) = \frac{1}{\sqrt{x^{2} - 16} - 3} \cdot (\sqrt{x^{2} - 16} - 3)'

So einfach ist das, leite den letzten Faktor ab, und dann serhält man:

f' (x) = \frac{x}{{(\sqrt{x^{2} - 16})}^{2} - 3 \sqrt{x^{2} - 16}}

Ricci78 aktiv_icon

14:48 Uhr, 18.09.2012

Ich hoffe ich verstehe das richtig ( sorry , ich tu mir zugegeben echt schwer ) :

das x entsteht oben ja "nur" dadurch , das ich kürze , oder ?

f(x) = ( ((x²-16)^0,5) - 3 )

u (x) = x² - 16

u´(x) = 2x

also dann f´(x) = [ 1 / ( 2* ( (x^2-16)^0,5) ) ] * 2x

und bei f´´(x) muss ich das berühmte N AZ - Z AN durch N² anwenden ...

da komme ich auf :

1 * ( ( ((x²-16)^0,5) - 3 ) * ((x²-16)^0,5 ) * x * ( ???? )

________________________________________________

( ((x²-16)^0,5) - 3 ) ² * ((x²-16)^0,5 )²

... oder bin ich schon wieder komplett daneben ?

Vielleicht könnt Ihr mir hier noch helfen , denn dann is das Beispiel auch komplett ( hoffe ich zmdst )

PS: Wie revanchiert man sich bei euch eigentlich ?

Underfaker aktiv_icon

15:13 Uhr, 18.09.2012

Nein, da ist grundsätzlich etwas falsch.

Wende das an was ich geschrieben habe.

Wenn du deine Lösung mit der meinen vergleichst, dann siehst du schon, dass da etwas nicht stimmen kann.

Das

x

im Zähler erhält man aus der inneren Ableitung der Wurzelfunktion.

Betrachte doch zunächst die ABleitung von

\sqrt{x^{2} - 16} - 3

Wenn du die hast ersetzt du die oben entsprechend un dkannst dann weiter auflösen.

ps: Für gewönlich stellt man einen gedeckten vierstelligen Scheck aus, bei der aktuellen Euro-Situation wäre mir aber eine entsprechende Goldanlage lieber...

Spaß bei Seite

\to

absolutes Ehrenamt

Ricci78 aktiv_icon

18:27 Uhr, 18.09.2012

Ich betrachte die Ableitung , aber ich weiß nicht , was der "3" passieren soll ... ich verstehe das Konzept der Ableitung indem man das ohne der 3 macht , aber ich weiß einfach nicht was ich machen soll . Was passiert hier denn ? ich werde auch auf anderen Seiten leider nicht fündig . ( Vielleicht sehe es auch nicht ?! ) lg !

Underfaker aktiv_icon

18:40 Uhr, 18.09.2012

Wäre die 3 denn auch ein Problem wenn dort steht:

g (x) = x^{2} + 3

g' (x) =

?

Wo ist denn hier das Problem.

(\sqrt{x^{2} - 16} - 3)' = ({(x^{2} - 16)}^{\frac{1}{2}})' \to

Kettenregel ganz normal

Underfaker aktiv_icon

18:50 Uhr, 18.09.2012

Kann es sein, dass wir aneinander vorbei geredet haben, in deinem Post von

14 : 48

hast du vielleicht das richtige gemeint?

\frac{1}{2 \sqrt{x^{2} - 16}} \cdot 2 x

ist nämlich richtig, aber ich dachte du hättest dort die komplette Funktion versucht abzuleiten, wegen der Darstellung ist mir das erst etzt aufgefallen, du hast dort nämlich

f (x)

verwendet, das sollte man nicht doppelt nehmen.

Nun ja, wenn dem so sein sollte, ersetze das wie gesagt oben wo nur noch der Teil abzuleiten war und fasse zusammen, dann bist du fertig.

Tut mir Leid dass mir das noch nicht früher aufgefallen ist.

Was dann aber "N AZ

- Z

AN" bedeutet weiß ich nicht.

Jedenfalls kannst du bei weiterer Ableitung die Produkt- oder die Quotientenregel benutzen.

Ricci78 aktiv_icon

03:29 Uhr, 20.09.2012

Das ist überhaupt kein Problem , denn ich bin ja froh über deine Hilfe !

Ich komme dank deiner Fehlerbemerkung nämlich zum richtigen Ergebnis der ersten Ableitung .

Nur um sicherzugehen frage ich sicherheitshalber lieber nochmal , denn ich erkenne nicht , woher das "x/1" mit dem "+" herkommt , wenn ich bei f" das hier stehen habe :

{(

((x²-16)^0,5)

- 3

)*((x²-16)^0,5

)} \cdot 1 - x \cdot

( ??x/1??

+

{x \cdot (

((x²-16)^0,5)

- 3)}

durch

{

((x²-16)^0,5)} )

- - - -

Großer Bruchstrich

- - - -

( ((x²-16)^0,5)

- 3)

\cdot

((x²-16)^0,5 )²

Ich hoffe du kannst meine Schreibweiße erkennen

. .

.

UND DANKE NOCHMAL FÜR DEINE HILFE

!!!

Underfaker aktiv_icon

10:44 Uhr, 20.09.2012

Ich weiß leider nicht was du meinst, kannst vielleicht mal die Seite betrachten wo steht" Wie schriebt man Formeln" ? Weil die darstellung ist sehr anstrengend.

Beziehst du dich hier auf die zweite Ableitung?

Bspw. "woher das "x/1" mit dem "+" herkommt , wenn ich bei f" das hier stehen habe :"

f

ist die Ausgangsfunktion so sieht

f

sicher nicht aus.

Kannst du mich vielleicht erleuchten?

Ricci78 aktiv_icon

11:17 Uhr, 20.09.2012

Ricci78 aktiv_icon

11:26 Uhr, 20.09.2012

\frac{(\sqrt{(x^{2} - 16)} - 3 \cdot \sqrt{(x^{2} - 16)}) \cdot 1 - x \cdot (\frac{x}{1} + \frac{x \cdot \sqrt{(x^{2} - 16)} - 3}{\sqrt{(x^{2} - 16)}})}{{(\sqrt{(x^{2} - 16)} - 3)}^{2} \cdot {(\sqrt{(x^{2} - 16)})}^{2}}

Underfaker aktiv_icon

12:11 Uhr, 20.09.2012

Und was soll dieses Ungetüm darstellen?

Ricci78 aktiv_icon

12:14 Uhr, 20.09.2012

Das ist die 2te Ableitung

. .

. zumindest mein "vorläufiges" Ergebnis . Deshalb ist mir lieber jemand sieht es sich vorher nochmal an .

Underfaker aktiv_icon

12:26 Uhr, 20.09.2012

Wenn ich das richtig sehe ist das "korrekt"

Ne am Anfang fehlt ein Quadrat.

Ricci78 aktiv_icon

12:26 Uhr, 20.09.2012

und wie gesagt , der Schritt mit "x/1 +" ist mir noch ein Rätsel .

Ich hoffe man kann meine Formel erkennen ?

Ricci78 aktiv_icon

12:28 Uhr, 20.09.2012

JA SUPER ODER :-D) ?
ja alles nur Dank eurer Hilfe hier

!!!

Ricci78 aktiv_icon

12:29 Uhr, 20.09.2012

wie am anfang fehlt ein quadrat

. .

. moment

Underfaker aktiv_icon

12:29 Uhr, 20.09.2012

Ich musste revidieren. Mein Zähler beginnt mit

{(\sqrt{x^{2} - 16})}^{2}

Ricci78 aktiv_icon

12:33 Uhr, 20.09.2012

achso okay , aber das mit der "x/1 +"

. .

. Ich komme nämlich nicht so ganz dahinter

. .

Underfaker aktiv_icon

12:41 Uhr, 20.09.2012

Tja je nachdem wie die Rechnung aussieht.

Sagen wir dein Nenner sieht ("in der ersten Ableitung) so aus:

(\sqrt{x^{2} - 16} - 3) \sqrt{x^{2} - 16}

Dann ist der letzte Summand im Zähler (der zweiten Ableitung) das Resultat aus dem nichtabgeleiteten Zähler

\to x

multipliziert mit der Ableitung des Nenners.

Wenn wir das (also eben den Nenner) mal ableiten erhalten wir mit der Produktregel:

\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{x^{2} - 16}} \cdot 2 x \cdot \sqrt{x^{2} - 16} + . .

= \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 16}} \cdot \sqrt{x^{2} - 16} + . .

= \frac{x}{1} + ... . = x + . .

.

Die Punkte symbolisieren den Rest der Ableitung (ich war zu faul) jedenfalls ist das eine Erklärung für "

\frac{x}{1}

Ricci78 aktiv_icon

11:34 Uhr, 21.09.2012

Ich habe das Beispiel endlich durch !

Ich danke dir ( euch ) vielmals !
Große klasse , dass ihr das ehrenamtlich macht !

Nochmals vielen vielen Dank !

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