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Wann ist das Spiel fair?

Schüler Gymnasium, 13. Klassenstufe

Tags: Stochastik

Mario1993 aktiv_icon

19:08 Uhr, 21.09.2012

1. Max darf den Würfel für einen Einsatz von 1 Euro zweimal werfen.Er hat gewonnen,wenn die Aufgensumme 3 beträgt oder wenn zwei Sechsen fallen.Er erhält dann 3 Euro Auszahlung.Ist das Spiel für Max günstig?
2. Heino darf für einen Einsatz von 6 Euro dreimal würfeln.Bei jeder zwei,die dabei fällt,erhält er eine Sofortauszahlung von a Euro.Für welchen Wert von a ist dieses Spiel fair?

DER WÜRFEL FÜR BEIDE AUFGABEN SIT SO AUFGEBAUT: ES GIBT 1 Feld für die Nr

1, 3

Felder für die Nr

2, 2

Felder für die Nr 6

Habe beide aufgaben gerechnet! bei der 1. habe ich raus, dass

max

0.17euro verlust pro spiel macht.

bei der 2. aufgabe habe ich raus, dass

a = 6.86

sein muss.

stimmt das? wenn nein, kann mir jmd bitte seinen rechenweg präsentieren? danke schön

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

anonymous

21:44 Uhr, 21.09.2012

ich habe in beiden Fällen andere Werte. Fair wäre, wenn du deinen Rechenweg zur Prüfung offenlegen würdest!

Mario1993 aktiv_icon

08:40 Uhr, 22.09.2012

3 \cdot \frac{4}{36} + 3 \cdot \frac{4}{36} = 1

Euro gewinn bei 2 Spielen (da dies auch der einsatz ist, ist das spiel fair).

\to

sorry, war ein fehler von mir!

2. da war ich mir nicht sicher! habe

a \cdot

die wahrscheinlichkeit, dass 1 mal eine zwei fällt

\frac{2}{6} + a \cdot

die wahrscheinlichkeit, dass 2 mal eine zwei fällt

\frac{4}{36} + a \cdot

die wahrscheinlichkeit, dass 3 mal eine zwei fällt

\frac{8}{216}

. das ergebnis habe ich dann nach a aufgelöst:

a \cdot \frac{13}{27}

a \cdot (13) = 27

a = 2,07

habe jetzt hier zwar auch andere zahlen raus, aber das war mein rechenweg. war gestern extrem müde, vllt kamen daher leichtsinnskeitsfehler

anonymous

12:33 Uhr, 22.09.2012

6^{3} = 216

?! - nach deinen Worten ist doch der Würfel so gebaut: 1 Seitenfläche zeigt die AZ

1, 3

Flächen die AZ 2 und 2 Flächen die AZ 6
Beim dreimaligen Wurf ist dann die Ergebnismenge

{1,2,6}^{3},

deren Mächtigkeit

3^{3} = 27

ist.
Oder habe ich da etwas falsch verstanden?
(weiter heute nachmittag)

Mario1993 aktiv_icon

13:32 Uhr, 22.09.2012

den aufbau hast du richtig verstanden! da die ergebnisse sowie der weg anscheinend falsch ist, bitte ich um den richtigen weg

maxsymca

15:11 Uhr, 22.09.2012

Sieht Dein Ereignisraum nicht ehr so aus?

(\begin{matrix} 1 + 1,2 + 1,2 + 1,2 + 1,6 + 1,6 + 1 \\ 1 + 2,2 + 2,2 + 2,2 + 2,6 + 2,6 + 2 \\ 1 + 2,2 + 2,2 + 2,2 + 2,6 + 2,6 + 2 \\ 1 + 2,2 + 2,2 + 2,2 + 2,6 + 2,6 + 2 \\ 1 + 6,2 + 6,2 + 6,2 + 6,6 + 6,6 + 6 \\ 1 + 6,2 + 6,2 + 6,2 + 6,6 + 6,6 + 6 \end{matrix})

Mario1993 aktiv_icon

21:00 Uhr, 22.09.2012

den ersten teil der aufgabe müsste ich soweit nun richtig haben.

zum zweiten teil: muss man dort rechnen
a*wahrscheinlichkeit eine

2

in drei würfen zu haben

+

a*wahrscheinlichkeit

2 x 2

in drei würfen zu haben

+

a*wahrscheinlichkeit

3 x 2

in drei würfen zu haben?
also praktisch:

a \cdot \frac{3}{6} + a \cdot \frac{6}{12} + a \cdot \frac{9}{18}

. das ist ja auch nichts anderes als

3 \cdot 0.5 a

. kommt mir etwas komisch vor als lösung

normal nimmt man doch laut einem baum die ergebnisse miteinander mal, darum bin ich etwas verwirrt... und muss ich hier auch noch die reihenfolge beachten? bei

2 x

eine 2 würfeln zb kann ja erst die

2,

dann eine zahl und dann wieder 2 kommen oder 2,2,andere zahl ,etc.

anonymous

21:11 Uhr, 22.09.2012

ich habe mal ein bischen notiert - ich hoffe fehlerfrei
http//www.upl.co/uploads/15908453WR.gif

Mario1993 aktiv_icon

21:20 Uhr, 22.09.2012

vielen dank!!! hat mir sehr geholfen, habe die aufgabe nun verstanden.
also ist der komplette ergebnisraum

27

ergebnisse und bspw. 6 dann die anzahl an kombinationen, die es bei

221

gibt

anonymous

21:34 Uhr, 22.09.2012

so darfst du es nicht sagen: für genau zwei Zweien und eine Eins gibt es 3 Möglichkeiten - an Stelle der 1 kann aber auch die 6 treten

- d . h

. es kommen 3 weitere Möglichkeiten hinzu, insgesamt sind es für diesen Fall also 6 Möglichkeiten.

Mario1993 aktiv_icon

21:39 Uhr, 22.09.2012

vielen dank für deine hilfe :-)
habe hier noch 2 weitere dringende fragen, vllt. weißt du auf sie auch eine so deutliche antwort:
http//www.onlinemathe.de/forum/Gefaelschter-Tetraeder-1

http//www.onlinemathe.de/forum/Unabhaengigabhaengig-Stochastik

maxsymca

23:26 Uhr, 22.09.2012

Da bin ich nicht ganz einverstanden:
Die Gewinnchance auf eine 2 ist

0,5

bei einem Würfel:
Binomialverteilung bei 3 Würfen

p (0 \cdot 2) = \frac{1}{8}

p (1 \cdot 2) = \frac{3}{8}

p (2 \cdot 2) = \frac{3}{8}

p (3 \cdot 2) = \frac{1}{8}

Einsatz

6 = \frac{3}{8} \cdot a + 2 \cdot \frac{3}{8} \cdot a + 3 \cdot \frac{1}{8} \cdot a = \frac{3}{2} \cdot a

Gewinn
Fair ist

4 = a

Mario1993 aktiv_icon

00:20 Uhr, 23.09.2012

Diese Art von rechnug hatte ich auch noch nicht in der Schule, gibt es einen anderen weg, um auf dein Ergebnis zu kommen?

maxsymca

11:26 Uhr, 23.09.2012

Also die Wahrscheinlichkeit
eine 2 zu würfeln

p_{2} = 0.5

und
KEINE 2 zu würfeln

p_{0} = (1 - p_{2}) = 0.5

P(keine 2 bei 3 Würfen)

= p_{0}^{3} = \frac{1}{8}

P(eine 2 bei 3 Würfen)

= p_{2} \cdot p_{0}^{2} \cdot 3

(weil 2 im

1 . + 2 . + 3

. Wurf)

= \frac{3}{8}

P(zweimal 2 bei 3 Würfen)

= p_{2}^{2} \cdot p_{0} \cdot 3

(weil keine 2 im

1 . + 2 . + 3

. Wurf)

= \frac{3}{8}

P(dreimal 2 bei 3 Würfen)

= p_{2}^{3} = \frac{1}{8}

OK?

Mario1993 aktiv_icon

11:37 Uhr, 23.09.2012

Achso, klar!

\frac{3}{8},

weil man

3 x

Kombinationen wenn hat, wenn man 2 Zweien und eine andere Zahl wirft!

dann müsste die rechnung doch lauten:

2 a \cdot \frac{3}{8} + 2 a \cdot \frac{3}{8} + 3 a \cdot \frac{1}{8} = 6

Wieso hast Du dann nur

a \cdot \frac{3}{8} + 2 a \cdot \frac{3}{8} + 3 a \cdot \frac{1}{8} = 6

Also quasi am Anfang

a \cdot

statt

2 a \cdot

maxsymca

11:46 Uhr, 23.09.2012

Weil er bei einmal 2 nur einmal a gewinnt und die Chance für das Ereignis

\frac{3}{8}

ist...

Mario1993 aktiv_icon

11:49 Uhr, 23.09.2012

aber wenn er

2 x

zwei würfelt, erhält er doch auch

2 x

einen sofortgewinn. in der aufgehabenstellung steht, dass für jede gewürfelte

2,

es einen sofortgewinn gibt für den würfler

maxsymca

11:53 Uhr, 23.09.2012

Wer lesen kann ist im VOrteil ;-)
Meine Antwort bezieht sich auf Deine Frage nach dem Gewinn bei EINMAL

2,

der erste Summand und dann kommt der Gewinnfall ZWEIMAL 2,zweiter Summand....

Mario1993 aktiv_icon

11:53 Uhr, 23.09.2012

achso, jetzt habe ich das verstanden!!!

a \cdot \frac{3}{8} + 2 a \cdot \frac{3}{8} + 3 a \cdot \frac{1}{8} = 6

\to

dann fehlt dir doch aber auch noch "+ 2a*(3)/(8)" in der rechnung oder nicht? da man ja

22 x (x =

eine zahl) oder

22 y

(y=andere zahl) werfen kann
also wäre die rechnung dann:

a \cdot \frac{3}{8} + 2 a \cdot \frac{3}{8} + 2 a \cdot \frac{3}{8} + 3 a \cdot \frac{1}{8} = 6

a \cdot \frac{3}{8} = 1 x 2

2 a \cdot \frac{3}{8} = 2 x 2

(zB

221

mit 3 kombinationen)

2 a \cdot \frac{3}{8} = 2 x 2

(zB

226

mit 3 kombinationen)

3 a \cdot \frac{1}{8} = 3 x 2

maxsymca

11:56 Uhr, 23.09.2012

Wir sind uns doch einig, dass der Ereignisraum 4 Ereignisse umfasst.
Siehe oben...
3 Gewinnereignisse

= 3

Summanden
1 Totalverlustfall, spielt keine Rolle für den Gewinn

Mario1993 aktiv_icon

12:06 Uhr, 23.09.2012

ich verstehe es leider nicht, kannst du deine rechnung mal bitte mit worten erklären? wieso gibt es nicht 4 gewinnsummanden, weil man ja

221

oder

226

würfeln kann.

wieso kann man nicht

a \cdot \frac{6}{8}

nehmen, das wäre die wahrscheinlichkeit von

221

und

226

zsm gerechnet mit deren kombinationsmöglichkeiten

Mario1993 aktiv_icon

12:15 Uhr, 23.09.2012

Habe jetzt einmal alle Gewinnwahrscheinlichkeiten aufgeschrieben, man gewinnt bei:

222 = \frac{1}{8} \to 3 a

221 = \frac{3}{24} \to 2 a

226 = \frac{1}{4} \to 2 a

216 = \frac{1}{6} \to a

266 = \frac{1}{6} \to a

211 = \frac{1}{8} \to a

Kann man jetzt nicht einfach

\frac{3 a}{8} + \frac{6 a}{24} + \frac{2 a}{4} + \frac{a}{6} + \frac{a}{6} + \frac{a}{8} = 6

setzen und dann nach a auflösen?

oder

\frac{3 a}{8} + \frac{6 a}{8} + \frac{11 a}{24} = 6

wenn man die wahrscheinlichkeiten untereinander addiert hat

maxsymca

12:21 Uhr, 23.09.2012

Die Wahrscheinlichkeit zweimal 2 zu Würfeln beträgt doch

\frac{3}{8},

sind wir uns da einig? In dieser Betrachtung sind ALLE Kombinationen in denen ZWEILMAL 2 vorkommen kann schon ENTHALTEN. Das hast Du doch abgenickt:
<zitat>Achso, klar!

\frac{3}{8},

weil man

3 x

Kombinationen wenn hat, wenn man 2 Zweien und eine andere Zahl</>
In diesem Fall gewinnt er

2 \cdot a

und das mit einer Wahrscheinlichkeit von

\frac{3}{8} -

also

\frac{3}{8} \cdot 2 \cdot a

usw.. für 3 Gewinnfälle

1 x 2, 2 x 2, 3 x 2

Edit: Ausserdem betrachte ich die Fälle

x 22, 2 x 2, 22 x -

ich unterscheide die 1 und 6 nicht mehr, muss ich auch nicht, weil beide verlieren und als Wahrscheinlichkeit

0,5

dafür anzusetzen ist!

Mario1993 aktiv_icon

12:31 Uhr, 23.09.2012

jetzt habe ich die aufgabe endlich verstanden! habe nun noch mal meine rechnung oben auf fehler überprüft und die einzelwahrscheinlichkeiten dann zsm addiert

(2 x

2 x,

etc.)- komme jetzt auch auf deine rechnung

habe hier noch eine weitere frage: www.onlinemathe.de/forum/Gefaelschter-Tetraeder-1

anonymous

12:57 Uhr, 23.09.2012

@maxsymca
Es ist erstaunlich, welchen Mist man manchmal verfasst: meine Betrachtungsweise setzt voraus, dass die AZ mit der gleichen W. geworfen werden - was ja bei diesem Würfel nicht der Fall ist.
Man kann (muss aber nicht) das ganze als B-Kette auffassen: Treffer:"AZ=2",

p = 0,5, X = 1, X = 2, X = 3 -

dann ist alles klar.

@Mario
maxsymca hat dir den richtigen Lösungsweg aufgezeigt - meine Schreiberei ist falsch und ab sofort für den Papierkorb gedacht.

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