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gleichmässige Stetigkeit

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Stetigkeit

Tags: Funktion, Stetigkeit

student11 aktiv_icon

22:01 Uhr, 29.07.2012

Hallo zusammen

Wie kann man zeigen, dass

f (x) = \frac{1}{x} \cdot sin (\frac{1}{x})

gleichmässig stetig ist auf

x \in (0,1)

.

Habe versucht, den Mittelwertsatz anzuwenden, jedoch komm ich da nicht mehr weiter..

| f (x) - f (y) | = | x \cdot sin (\frac{1}{x}) - y \cdot sin (\frac{1}{y}) | = | x - y | \cdot | sin (\frac{1}{x_{0}}) - \frac{1}{x_{0}} \cdot cos (\frac{1}{x_{0}}) |

Komm ich hier noch irgendwie weiter?

Vielen Dank für eure Hilfe

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Stetigkeit (Mathematischer Grundbegriff)
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Einführung Funktionen

Shipwater aktiv_icon

23:18 Uhr, 29.07.2012

Wäre

f (x) = \frac{1}{x} \cdot sin (\frac{1}{x})

auf

(0,1)

gleichmäßig stetig, so müsste ein

δ > 0

existieren, so dass für alle

x, y \in (0,1)

mit

| x - y | < δ

gilt dass

| f (x) - f (y) | < 1

.
Sei nun

δ > 0

und oBdA

δ < \frac{2}{3} π

. Wähle

x = \frac{1}{2 n π}

und

y = \frac{1}{2 n π + \frac{δ}{2}}

mit einem noch näher zu bestimmendem

n \in ℕ

.
Wegen

(\frac{1}{2 n π} - \frac{1}{2 n π + \frac{δ}{2}}) \to 0

gibt es

n_{0} \in ℕ

so, dass für alle

n \geq n_{0}

gilt:

| \frac{1}{2 n π} - \frac{1}{2 n π + \frac{δ}{2}} | < δ

Für

n \geq n_{0}

ist dann

| x - y | < δ

aber

| f (x) - f (y) | = (2 n π + \frac{δ}{2}) sin (\frac{δ}{2}) > (2 n π + \frac{δ}{2}) \cdot \frac{δ}{4} > 2 n π \cdot \frac{δ}{4} = n \cdot \frac{π δ}{2}

Insgesamt kann damit

n = max {n_{0}, ⌈ \frac{2}{π δ} ⌉}

gewählt werden.
Damit wäre

f (x) = \frac{1}{x} \cdot sin (\frac{1}{x})

auf

(0,1)

nicht gleichmäßig stetig.
Ist allerdings schon spät, kann daher gut sein, dass ich mich irgendwo verrechnet/vertan habe.

student11 aktiv_icon

23:22 Uhr, 29.07.2012

Bevor ich mich da reindenke, eine kurze Frage:

Impliziert Lipschitz-Stetigkeit denn nicht gleichmässige Stetigkeit? Habe gerade in meienm Skript gelesen, dass die obige Funktion auf diesem Intervall Lipschitz-stetig sei..
Oder aber es hat einen Fehler in meinem Skript?

Könnte schon sein, hatte nämlich auch Mühe, zu zeigen, dass sie lipschitz-stetig ist. :-D)

student11 aktiv_icon

23:26 Uhr, 29.07.2012

Hier der Ausschnitt aus dem Skript (also der bezüglich gleichmässiger Stetigkeit, nicht Lipschitz-Stetigkeit, hatte da wohl einige Aufgaben verwechselt. Das Skript sagt nur was über gleichmässige Stetigkeit..)

hagman aktiv_icon

23:27 Uhr, 29.07.2012

Es gilt der Satz:

Ist

f : (a, b) \to ℝ

gleichmäßig stetig, so ist

f

beschränkt.
Das sieht man leicht:
Da

f

gleichmäßig stetig ist, gibt es zu

ε = 1

ein

δ > 0

mit

| f (x) - f (y) | < 1

für alle

x, y \in (a, b)

mit

| x - y | < δ

. OBdA. ist

δ < b - a

.
Zu den endlich vielen Zahlen

| f (a + k \cdot δ) |

mit

k \in ℕ, k < \frac{b - a}{δ}

(wodurch auch

a < a + k δ < b

gesichert ist) gibt es eine Schranke

M

mit

| f (k \cdot δ) | < M

für alle diese

k

. Zu jedem

x \in (a, b)

gibt es unter diesen

k

mindestens eines mit

| x - (a + k δ) | < δ

. Folglich

| f (x) | < f (a + k δ) | + ε < M + 1

.

Angewendet auf die Aufgabenstellung:
Da das

f

aus er Aufgabenstellung nicht beschränkt ist (betrachte

x = \frac{1}{2 n π + \frac{π}{2}}

mit

n \in ℕ),

ist

f

nicht gleichmäßig stetig.

Shipwater aktiv_icon

23:28 Uhr, 29.07.2012

Ja Lipschitz-Stetigkeit impliziert gleichmäßige Stetigkeit. Wenn

L

Lipschitzkonstante dann kann man ja

δ = \frac{ε}{L}

wählen. Wie gesagt ich kann mich auch verrechnet haben. Ich geh jetzt allerdings schlafen, schau dann morgen gegebenfalls nochmal rein.

student11 aktiv_icon

23:30 Uhr, 29.07.2012

Gute Nacht.. Werde auch morgen nochmals hier reinschauen, kann mich nicht mehr konzentrieren..

Jedenfalls schon mal vielen Dank für eure Antworten.. Wird wohl ein Fehler im Skript sein (oder ich verstehe das Skript falsch?? )

:-)

Shipwater aktiv_icon

23:31 Uhr, 29.07.2012

Im Skript ist von

x sin (\frac{1}{x})

die Rede, hier hast du

\frac{1}{x} sin (\frac{1}{x})

geschrieben...

student11 aktiv_icon

23:33 Uhr, 29.07.2012

Oh je.. es ist tatsächlich zu spät.. Hätte mir wohl selbst auffallen sollen.. Peinlich..

Schaue das morgen nochmals an..

Sorry für die Verwirrung..

hagman aktiv_icon

11:47 Uhr, 30.07.2012

Für

f (x) = x \cdot sin (\frac{1}{x})

würde natürlich ein Kompaktheitsargument greifen (das dürfte der erwähnte Satz 11.?? sein).

student11 aktiv_icon

11:49 Uhr, 30.07.2012

Habe diese 2 Aufgaben nochmals durchgesehen und jetzt ist alles klar..
Habe wohl meine Augen nicht mehr richtig offen halten können gestern Abend.. :-)

Vielen Dank für eure Hilfe..

Shipwater aktiv_icon

11:53 Uhr, 30.07.2012

Das dürfte der Satz von Heine sein: de.wikipedia.org/wiki/Satz_von_Heine

student11 aktiv_icon

12:02 Uhr, 30.07.2012

Stimmt, das ist der Satz von Heine..
Den hatte ich total vergessen..

Vielen Dank euch beiden.

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