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konvexe Funktion

Schüler Ausbildungsstätte,

Tags: konvexe Funktion, Monotonie

SoNyu

22:09 Uhr, 14.04.2014

Hi,

ich komme bei folgender Aufgabe nicht weiter:

Sei

f : ℝ \to ℝ

eine konvexe Funktion. Seien a,b,c

\in \ m a t b b R

a < b < c

. Zeigen Sie:

\frac{f (b) - f (a)}{b - a} \leq \frac{f (c) - f (a)}{c - a} \leq \frac{f (c) - f (b)}{c - b}

Folgern Sie:

Die Funktion

φ : ℝ \ {0} \to ℝ

φ (h) := \frac{f (x + h) - f (x)}{h}

ist monoton steigend.

Zu erst einmal würde ich gerne diese Ungleichungskette zeigen. Daran scheiter ich leider. Ich habe es schon mit dem Mittelwertsatz und elementaren Umformungen probiert.

Da f konvex ist, ist f monoton steigend. Es gilt also f(a)<f(b)<f(c)
Konvexität sollte auch die Stetigkeit von f implizieren, da f differenzierbar ist.

Ich hatte auch versucht a bzw. b und c umzuschreiben, weil wir in der Vorlesung so einige Sätze bewiesen hatten, und dann vielleicht mit der Tangenbedingung abschätzen?

Über einen Tipp würde ich mich freuen.

mfg

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Monotonieverhalten (Mathematischer Grundbegriff)
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

DrBoogie aktiv_icon

22:31 Uhr, 14.04.2014

"Da f konvex ist, ist f monoton steigend."

Stimmt nicht.

f (x) = x^{2}

ist auch konvex.

Zur Ungleichung.
Definition von Konvexität:

f (t x + (1 - t) y) \leq t f (x) + (1 - t) f (y)

für

t

aus

[0, 1]

.

Mit

x = a

y = c

und

t = \frac{c - b}{c - a}

und

1 - t = 1 - \frac{c - b}{c - a} = \frac{b - a}{c - a}

haben wir

f (\frac{c - b}{c - a} a + \frac{b - a}{c - a} c) \leq \frac{c - b}{c - a} f (a) + \frac{b - a}{c - a} f (c)

f (\frac{c a - a b + b c - a c}{c - a}) \leq \frac{c - b}{c - a} f (a) + \frac{b - a}{c - a} f (c)

f (\frac{(c - a) b}{c - a}) \leq \frac{c - b}{c - a} f (a) + \frac{b - a}{c - a} f (c)

f (b) \leq \frac{c - b}{c - a} f (a) + \frac{b - a}{c - a} f (c)

\frac{f (b) (c - a)}{c - a} \leq \frac{c - b}{c - a} f (a) + \frac{b - a}{c - a} f (c)

f (b) (c - a) \leq (c - b) f (a) + (b - a) f (c)

f (b) (c - a) \leq ((c - a) + (a - b)) f (a) + (b - a) f (c)

(f (b) - f (a)) (c - a) \leq (a - b) f (a) + (b - a) f (c)

=> (teile durch

(c - a) (b - a)

)

=>

\frac{f (b) - f (a)}{b - a} \leq \frac{f (c) - f (a)}{c - a}

Die andere Ungleichung geht auf die ähnliche Art. :-)

SoNyu

22:35 Uhr, 14.04.2014

Ups, ich meinte auch eigentlich

f ʹ

Dann werde ich mir deine Ungleichung mal näher angucken. Vielen Dank für die Mühe.

SoNyu

23:40 Uhr, 14.04.2014

Egal was ich probiere, aber um die Ungleichung:

\frac{f (c) - f (a)}{c - a} \leq \frac{f (c) - f (b)}{c - b}

zu zeigen, fehlt mir die geschickte Wahl von t.
Gibt es da irgendeinen Trick wie man auf t kommt, damit es klappt?

Ich habe es auch schon rückwärts versucht, aber das wird zu unübersichtlich von den Rechenschritten her...

Und wie ich folgern kann, dass

φ

monoton steigend ist, weiß ich bisher auch nicht so recht.

Ich würde

φ (h) = \frac{f (x + h) - f (x)}{h}

ableiten

φ (h) ʹ = \frac{f (x + h) ʹ \cdot h - f (x + h) + f (x)}{h^{2}}

Und nun versuchen das vielleicht auf die Form der Tangentenbedingung zu bringen.

DrBoogie aktiv_icon

10:22 Uhr, 15.04.2014

"Gibt es da irgendeinen Trick wie man auf t kommt, damit es klappt?"

Da

t

zwischen

0

und

1

liegen soll, gibt's eigentlich nur zwei Kandidaten:

t = \frac{c - b}{c - a}

und

t = \frac{b - a}{c - a}

, ich habe die erste Variante bei dem Beweis der ersten Ungleichung benutzt. (Es würde aber auch mit der zweiten gehen.)

Aber für die zweite Ungleichung musst Du kein neues

t

suchen, Du kannst einfach eine schon bewiesene Ungleichung umformen. Wir haben nämlich schon gezeigt oben, dass

f (b) (c - a) \leq (c - b) f (a) + (b - a) f (c)

, jetzt formen wir sie einfach anders um:

f (b) (c - a) \leq (c - b) f (a) + ((c - a) - (c - b)) f (c)

(f (b) - f (c)) (c - a) \leq (c - b) f (a) - (c - b) f (c)

(f (b) - f (c)) (c - a) \leq (f (a) - f (c)) (c - b)

=> (geteilt durch

(c - a) (c - b)

)

(f (b) - f (c)) / (c - b) \leq (f (a) - f (c)) / (c - a)

=> (mal

- 1

)

(f (c) - f (a)) / (c - b) \leq (f (c) - f (b)) / (c - a)

.

Für die Monotonität von

φ

musst du nichts ableiten, sie folgt doch direkt aus den bewiesenen Ungleichungen, denn nehmen wir

h_{2} > h_{1} > 0

und setzen

c = h_{2} + x

b = h_{1} + x

a = x

, dann hat die erste Ungleichung

(f (b) - f (a)) / (b - a) \leq (f (c) - f (a)) / (c - a)

die Form

(f (h_{1} + x) - f (x)) / h_{1} \leq (f (h_{2} + x) - f (x)) / h_{2}

φ (h_{1}) < = φ (h_{2})

.
Für die Fälle

h_{2} > 0 > h_{1}

und

0 > h_{2} > h_{1}

musst Du auch die zweite Ungleichung heranziehen, denke ich, sollte genauso gehen - sorry, ich kann nicht für alle Fälle die komplette Lösung eintippen.

SoNyu

10:32 Uhr, 15.04.2014

Vielen Dank für die Hilfe und die Mühe die du dir gemacht hast.

"sorry, ich kann nicht für alle Fälle die komplette Lösung eintippen."

Das ist eigentlich auch gar nicht notwendig. Zwei einfache Tipps in die richtige Richtung hätten für den Anfang bereits gereicht. Dann kann ich damit erst einmal gucken, ob ich es nun schaffe. Und wenn nicht, dann tut es vielleicht ein weiterer Tipp. :-)

Danke.

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