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von differentialen zu einem integral

Schüler

Tags: integrieren, licht

maxmoritz aktiv_icon

11:31 Uhr, 04.07.2016

Hallo :-)

Zum Thema Licht (radiometry) gibt es einige Formeln:

Irradiance escience.anu.edu.au/lecture/cg/GlobalIllumination/irradiance.en.html

E =

dPhi/dA

Intensity I = dPhi/dOmega

Φ

steht für die Flux.

Radiance

L =

dPhi/(dOmega

\cdot

dAProj)

Fläche dAProj = dA

\cdot | cos (θ) |

dA ist die Fläche auf die das Licht auftrifft, dAProj ist eine hypothetische Fläche, im rechten Winkel zu

w

(das im Winkel

θ

zur Normalen auf der Fläche steht). Siehe Figure 6 www.scratchapixel.com/old/lessons/3d-basic-lessons/lesson-15-introduction-to-shading-and-radiometry/introduction-to-radiometry-2

Aus diesem ganzen Differentialformeln soll nun eine Integralformel entstehen:

E = \int_{ω} L \cdot | cos (θ) |

dOmega

Hat jemand eine Idee, wie man von den Differentialformen auf die Integralformel kommt? Ich schaffe das nicht. Immer passt irgendwas nicht, wenn ich es versuche.

P. S. ich bekomme das leider nicht hin, dass mir die Differentialformeln schöner formattiert werden. Kann mir wer einen Tipp dazu geben?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Flächenberechnung durch Integrieren
Stammfunktion (Mathematischer Grundbegriff)

anonymous

00:14 Uhr, 06.07.2016

Ich habe von dieser Physik keine Ahnung, und mich auch nicht weiter in deine Links vergraben.
Aber irgend etwas, was du hier behauptest, stimmt nicht so ganz.
Begründung:

Formel

[1 .] :

E =

dphi/dA

Formel

[2 .] :

= \frac{d φ}{d ω}

Formel

[3 .] :

L =

dphi/(domega*dA_proj) = dphi/(domega*dA*cos(theta))

L = (

dphi/dA

) \cdot \frac{1}{d ω \cdot cos (θ)}

Mit dem Wissen aus Formel

[1 .]

wird daraus:

L = E \cdot \frac{1}{d ω \cdot cos (θ)}

ganze Gleichung mal

d ω \cdot cos (θ) :

E = L \cdot cos (θ) \cdot d ω

Integration:

\int E = \int L \cdot cos (θ) \cdot d ω

Wie man ersieht, wird so das Integral aus

E

gleich dem von dir genannten Formelausdruck, nicht die Irradiance

E

selbst.

Auffallend an deinem Formelwerk ist auch die Formel

[3 .]

.
Ein Differenzenquotient hat praktisch immer die Form
dGröße_1 / dGröße_2
Bei deiner Formel

[3 .]

aber hast du untypische Form
dGröße_1 / (dGröße_2

\cdot

dGröße_3)

maxmoritz aktiv_icon

12:17 Uhr, 06.07.2016

Ist irgendwie beruhigend, dass ich nicht der Einzige bin, der ein Problem mit diesen Formel hat :-D)

Aber ich glaube, ich habe die Formeln richtig abgeschrieben.

/

Bei deiner Formel

[3 .]

aber hast du untypische Form

/

dGröße_1 / (dGröße_2 ⋅ dGröße_3)

Wenn ich im Nenner 2 Differentiale habe, muss ich dann auch 2 im Zähler haben? Mir ist im Internet nämlich auch schon eine etwas andere Formel aufgefallen, wo im Zähler ein Quadrat steht: en.wikipedia.org/wiki/Radiance Unter "Radiance of a surface, denoted"

Wäre diese Frage ev. in einem Physik-Forum besser aufgehoben?

anonymous

13:09 Uhr, 06.07.2016

Grundsätzlich müssen bei Differenzialquotienten gleich viele Differenziale im Nenner wie im Zähler stehen.
Denn nur so ist natürlich der Differenzenquotient bzw. dessen Grenzwert definiert:

\frac{d y}{d x} = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}

Verzwickt wird es aber natürlich, wenn in einem Namenskürzel eine Mehrdimensionalität steckt.

Z . B

. wird jeder zustimmen, dass:
Kraft = Druck mal Fläche

F = \int p \cdot

dA

Aber diese Namensgebung verschleiert ein wenig, dass das Differenzial ja grundsätzlich eine zweidimensionale Größe, nämlich eigentlich eine Fläche ist:

F = \int \int p \cdot d x \cdot d y

PS: Physik-Forum, ja möglicherweise...
Der Höflichkeit halber sollte man aber dann immer klarstellen, dass man schon in anderen Foren um Rat gefragt hat, und ggf. durch Querverweise/Links ermöglichen, die Antworten und Mühen dort einzusehen.

maxmoritz aktiv_icon

13:28 Uhr, 06.07.2016

Also das war auf jeden Fall schon mal eine hilfreiche und echt sehr interessante Antwort, danke :-)

Und natürlich habe ich jetzt den Querverweis gemacht. Scheint wohl wirklich so zu sein, dass irgendeine dieser Formeln nicht stimmt. Der Eintrag im Physik-Forum: www.physikerboard.de/ptopic,276806.html#276806

maxmoritz aktiv_icon

13:55 Uhr, 06.07.2016

wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d7b09428da83f49df274f8efa3c4eaed7523ddc1

Was genau bedeutet eigentlich das Quadrat im Zähler?

d^{2} Φ = d Φ \cdot d Φ

Steht das Quadrat einfach nur für eine Multiplikation von

d Φ

mit

d Φ

anonymous

16:03 Uhr, 06.07.2016

\frac{d^{2} y}{{d x}^{2}}

steht für die zweite Ableitung von

y

nach

x

.

In deinem Fall ist es die Ableitung nach A und nach Omega.

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