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1 / sqrt(x) mit Differenzenquotient ableiten

Schüler Gymnasium, 12. Klassenstufe

Tags: Differenzenquotient

Kurosaki aktiv_icon

21:57 Uhr, 02.09.2010

Guten Abend Mathegenies,

ich verzweifle bei folgender Aufgabe:

/ = Bruchstrich ; * = Multiplikationszeichen

f(x) = 1/ $\sqrt{x}$

Soll mit dem Differenzenquotienten

= (f(x+h) - f(x))/h

abgeleitet werden.

So weit bin ich bisher gekommen:

= ( (1 / $\sqrt{x + h}$ ) - ( 1 / $\sqrt{x}$ ) ) / h

= ( $\sqrt{x}$ / ( $\sqrt{x + h}$ * $\sqrt{x}$ ) ) - ( $\sqrt{x + h}$ / ( $\sqrt{x + h}$ * $\sqrt{x}$ ) ) / h

= ( ( $\sqrt{x}$ - $\sqrt{x + h}$ ) / $\sqrt{x}$ * $\sqrt{x + h}$ ) ) / h

Weiter komme ich nicht

Dann hatte ich da noch n anderen Ansatz, der aber wohl genau so falsch ist:

= ( (1 / $\sqrt{x + h}$ ) - ( 1 / $\sqrt{x}$ ) ) / h

= ( ( (1 / $\sqrt{x + h}$ ) - ( 1 / $\sqrt{x}$ ) ) * ( (1 / $\sqrt{x + h}$ ) + ( 1 / $\sqrt{x}$ ) ) ) / h

Hier hab ich dann aus ( (1 / $\sqrt{x + h}$ ) - ( 1 / $\sqrt{x}$ ) ) und ( (1 / $\sqrt{x + h}$ ) + ( 1 / $\sqrt{x}$ ) ) die dritte binomische Formel gemacht

= ( (1 / $\sqrt{x + h}$ )² - ( 1 / $\sqrt{x}$ )² ) / ( h * (1 / $\sqrt{x + h}$ ) + ( 1 / $\sqrt{x}$ ) )

weiter bin ich auch nicht gekommen..

Hoffe ich könntet mir helfen, ich bin kurz vorm weinen xD

Sollte ich klammern oder was anderes vergessen habe, lasst es mich bitte wissen und verzeiht mir.

Mit freundlichen Grüßen

Kurosaki

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Differenzenquotient (Mathematischer Grundbegriff)

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piquadrat aktiv_icon

22:11 Uhr, 02.09.2010

Nehm doch einfach die Produkt bzw. Quotientenregel.

virus51 aktiv_icon

22:14 Uhr, 02.09.2010

sers, kann mit deinem begriff nach dem du ableiten sollst nichts anfangen.
normale ableitung sieht so aus glaub ich:

f(x)= 1/xhoch 0,5
f(x) = 1*xhoch-0,5
f '(x)= -0,5xhoch-1,5
f '(x) = -0,5/1* wurzel aus x

Shipwater aktiv_icon

22:16 Uhr, 02.09.2010

Ihr glaubt doch nicht im ernst, dass er die Funktion mit dem Differentialquotienten ableiten will, wenn er die Ableitungsregeln benutzen darf!

Meine ersten Schritte würden so aussehen:

f' (x_{0}) = lim_{x \to x_{0}} \frac{\frac{1}{\sqrt{x}} - \frac{1}{\sqrt{x_{0}}}}{x - x_{0}}

f' (x_{0}) = lim_{x \to x_{0}} \frac{\sqrt{x_{0}} - \sqrt{x}}{\sqrt{x \cdot x_{0}} \cdot (x - x_{0})}

f' (x_{0}) = lim_{x \to x_{0}} \frac{\sqrt{x_{0}} - \sqrt{x}}{\sqrt{x \cdot x_{0}} \cdot (\sqrt{x} - \sqrt{x_{0}}) (\sqrt{x} + \sqrt{x_{0}})}

f' (x_{0}) = lim_{x \to x_{0}} \frac{\sqrt{x_{0}} - \sqrt{x}}{\sqrt{x \cdot x_{0}} \cdot - (\sqrt{x_{0}} - \sqrt{x}) (\sqrt{x} + \sqrt{x_{0}})}

Hilft dir das weiter?

Kurosaki aktiv_icon

22:42 Uhr, 02.09.2010

Erstmal danke für die schnellen Antworten, damit hab ich überhaupt nicht gerechnet.

@ virus51 & piquadrat: Ich muss das ja über den Differentialquotienten ableiten und nicht einfach nur die Ableitung wissen. Aber trotzdem danke für die zügige Antwort

@ Shipwater:

Also das sieht ja schon irgendwie danach aus womit ich es tun soll, jedoch steht bei dir nirgendswo ein

h

im Nenner wobei das bei mir überall steht, bis ich schließlich

h

gegen null laufen lasse bzw. ich es zuerst ausm Nenner schaffe und dann gegen null laufen lasse.
Und deine

x

und

x 0

Zeichen öhm, für was stehen die?^^

Shipwater aktiv_icon

22:54 Uhr, 02.09.2010

Mein Fehler, du sollst wohl die h-Methode und nicht die x-Methode benutzen. Dann würden meine ersten Schritte so aussehen:

f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{\sqrt{x + h}} - \frac{1}{\sqrt{x}}}{h}

f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\sqrt{x} - \sqrt{x + h}}{h \cdot \sqrt{(x + h) x}}

f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{(\sqrt{x} - \sqrt{x + h}) (\sqrt{x} + \sqrt{x + h})}{h \cdot \sqrt{(x + h) x} \cdot (\sqrt{x} + \sqrt{x + h})}

f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{x - (x + h)}{h \cdot \sqrt{(x + h) x} \cdot (\sqrt{x} + \sqrt{x + h})}

f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- h}{h \cdot \sqrt{(x + h) x} \cdot (\sqrt{x} + \sqrt{x + h})}

f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- 1}{\sqrt{(x + h) x} \cdot (\sqrt{x} + \sqrt{x + h})}

Hilft dir das weiter?

Rabanus aktiv_icon

23:02 Uhr, 02.09.2010

Hallo, schreibe

! :

\frac{1}{\sqrt{x}} = x^{- 1 / 2}

und

\frac{1}{\sqrt{x + h}} = {(x + h)}^{- 1 / 2} = x^{- 1 / 2} {(1 + \frac{h}{x})}^{- 1 / 2} = . .

.

Entwickle den Klammerterm !

Servus

Kurosaki aktiv_icon

23:25 Uhr, 02.09.2010

Oh ja das hilft und wie!

Vielen Dank dafür Shipwater!

Nach deinem letzten Schritt lasse ich nun endlich h gegen 0 laufen aus $\sqrt{(x + h}) x$ wird dann zuerst $\sqrt{x²}$ und daraus dann einfach ein x. Aus ( $\sqrt{x}$ + $\sqrt{x + h}$ ) wird dann ( $\sqrt{x}$ + $\sqrt{x}$ ) und dann ein x womit übrig bleibt:

f'(x) = - 1 / ( x * x )

f'(x) = - 1 / x²

Nein Moment, kann das überhaupt sein, dass 1 / $\sqrt{x}$ abgeleitet - 1 / x² ergibt?

Muss da nicht irgendwie ein Faktor vor die Wurzel und das x in der Wurzel quadriert werden?

@ Rabanus: Ich muss es so machen, wie Shipwater es mir vorzeigt. Trotzdem danke

Shipwater aktiv_icon

23:29 Uhr, 02.09.2010

Hier liegt der Fehler:

\sqrt{x} + \sqrt{x} = 2 \sqrt{x} \neq x

\sqrt{x} \cdot \sqrt{x}

wäre

x

Kurosaki aktiv_icon

23:36 Uhr, 02.09.2010

Aha!

Also:

f'(x): - 1 / (x * 2 $\sqrt{x}$ )

Aber jetzt bin ich gerade ratlos.

Wird das jetzt zu -1 / (2x $\sqrt{x}$ ) oder bleibt das da einfach so stehen?

Hmm muss da nicht -1 / (2 $\sqrt{x²}$ ) rauskommen?

Shipwater aktiv_icon

23:38 Uhr, 02.09.2010

f' (x) = - \frac{1}{2 x \sqrt{x}}

ist schon korrekt. Du könntest noch

x \sqrt{x} = x \cdot x^{\frac{1}{2}} = x^{1 + \frac{1}{2}} = x^{\frac{3}{2}}

zusammenfassen.

Kurosaki aktiv_icon

23:42 Uhr, 02.09.2010

Oh man^^ was für ne Arbeit

Nun ja, jetzt ist sie endlich vollbracht!

Vielen Dank für deine großartige Hilfe.

Hab noch eine Aufgabe auf. Werde die morgen versuchen zu lösen wird bissel komplizierter, bzw. unübersichtlicher werden, aber jetzt weiss ich ja wie der Hase läuft, von daher wirds hoffentlich klappen.

Werde sie dann in einer neuen Frage posten, vielleicht könntest Du dann drüber schauen, ob alles korrekt ist.

Danke nochmal!

Mit freundlichen Grüßen

Kurosaki

Shipwater aktiv_icon

11:06 Uhr, 03.09.2010

Es wird bestimmt auch jemand auf deine andere Frage antworten.

Gern geschehen, Gruß Shipwater

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