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2 Graphen berühren sich in ihren Hochpunkten

Schüler

Tags: Berührung, Hochpunkt, Zwei Funktionen

 
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beardy

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14:03 Uhr, 22.07.2020

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Ich habe die Funktionen f(x)=cos(x) und g(x)= 3cos(x)-2 im Intervall -1;7.
Ich soll zeigen, dass sich die beiden Graphen in zwei Hochpunkten berühren H1 und H2.
Aus der Zeichnung sind diese Punkte leicht zu entnehmen: H1(0¦1), H2(2pi¦1), aber mit der Berechnung über die Ableitungen f'(x)=-sin(x) und g'(x)= -3sin(x) habe ich Probleme.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)
Hierzu passend bei OnlineMathe:
Extrema (Mathematischer Grundbegriff)
Online-Nachhilfe in Mathematik
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supporter

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14:48 Uhr, 22.07.2020

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Berühren:

f(x)=g(x)

f'(x)=g'(x)
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anonymous

anonymous

15:04 Uhr, 22.07.2020

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Hallo,

In Schnitt- bzw. Berührpunkten von f und g gilt f(x)=g(x), also

cos(x)=3⋅cos(x)-2⇔2⋅cos(x)-2=0⇔cos(x)=1⇔x=arccos(1)=z⋅2⋅π  ∀  z∈Z.

Die Lösungsmenge ist also L={0,2⋅π}⊂[-1,7].

Nun untersuche, ob f und g dort strikte lokale Maxima haben

(also, ob die erste Ableitung dort Null und die zweite kleiner Null ist).

Für f'(x)=-sin(x) und g'(x)=-3⋅sin(x) gilt schonmal

x∈L⇒f'(x)=g'(x)=0.

Für f''(x)=-cos(x) und g''(x)=-3⋅cos(x) gilt

x∈L⇒f''(x)=-1,g''(x)=-3⇒f''(x),g''(x)<0.

Also alles paletti...
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