2. guldinsche regel

keine ahnung, ob ich das unter der richtigen kategorie eingetragen habe, aber naja....

hab da mal eine frage zu einer aufgabe :-)

Bestimmen SIe die y-Koordinate des Schwerpunktes der Fläche ${\displaystyle \left\{\right(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>},\mathrm{y<mspace\; width="0.12em"></mspace>})\in {\mathbb{R<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2|0\le \mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\le 4,0\le \mathrm{y<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\le \mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)\}}$

${\displaystyle \mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)=\sqrt{2\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+1},\forall \mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\in [\mathrm{o<mspace\; width="0.12em"></mspace>},\mathrm{\infty <mspace\; width="0.12em"></mspace>})}$

Volumen für die Rotation um die x-Achse (0 bis 4) beträgt 20${\displaystyle \mathrm{\pi <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$

Flächeninhalt (0 bis 4) beträgt ${\displaystyle \frac{26}{3}}$

Lösung:

mit 2. Guldinscher Regel:

${\displaystyle \mathrm{V<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=2\mathrm{\pi <mspace\; width="0.12em"></mspace>}{\mathrm{y<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_{\mathrm{s<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}\mathrm{A<mspace\; width="0.12em"></mspace>},\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{l<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{s<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{o<mspace\; width="0.12em"></mspace>}{\mathrm{y<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_{\mathrm{s<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}=\frac{\mathrm{V<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}{2\mathrm{\pi <mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{A<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}=\frac{20\mathrm{\pi <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}{2\mathrm{\pi <mspace\; width="0.12em"></mspace>}\frac{26}{3}}=\frac{15}{13}}$

Frage:

ist die zweite Guldinsche Regel einfach eine Formel, oder kann man die irgendwie verstehen?

mit welcher Formel berechnet man denn die x-Koordinate, wenn sie gefragt wäre. Kann man sich das auch irgendwie herleiten, so dass man das besser versteht?

Also ich verstehe den Hintergrund dieser Formel nicht so richtig. Wenn mir da jemand helfen könnte, wäre ich sehr dankbar :-)

mfg mustang

hm verstehe ich nicht... kannst du mir das mit der x-Koordinate mal am Beispiel zeigen?

danke

also der flächeninhalt und das volumen stimmen beide. hab das selber nachgerechnet und der vorgegebene Lösungsweg erscheint sinnvoll.

verstehe außerdem nicht, wie man auf die formel ${\displaystyle \mathrm{V<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=2\mathrm{\pi <mspace\; width="0.12em"></mspace>}{\mathrm{y<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_{\mathrm{s<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}\mathrm{A<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$ kommt.

bei wikipeida steht die guldinsche Regel folgendermaßen drin:

${\displaystyle \mathrm{V<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=\mathrm{A<mspace\; width="0.12em"></mspace>}*2\mathrm{\pi <mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{R<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$ das würde ja bedeuten, dass R=${\displaystyle {\mathrm{y<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_{\mathrm{s<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}$, aber das ist irgendwie unlogisch für mich...

ahja... davon versteh ich auch wieder nichts, aber naja...