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Flächeninhalt eines Kreisrings

Schüler Gymnasium, 10. Klassenstufe

 
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Wie berechnet man den Flächeninhalt eines Kreisrings?
Hierzu passend bei OnlineMathe:
Kreis (Mathematischer Grundbegriff)
Kreiszahl (Mathematischer Grundbegriff)
Elementare Kreisteile (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:
 
Gegeben: ri (Radius Innenkreis), ra (Radius Außenkreis)
Gesucht: A (Flächeninhalt Kreisring)

Beispiel

ri=1 cm
ra=2 cm

Ai=πri2=π12=π3,14cm2 (Flächeninhalt Innenkreis)

Aa=πra2=π(2)2=π26,28cm2 (Flächeninhalt Außenkreis)

Differenz aus den beiden Flächen ergibt Fläche des Kreisringes:

A=Aa-Ai=2π-π=π3,14cm2

Berechnung kann auch direkt über Formel erfolgen:

A=π(ra2-ri2)=π((2)2-1)=π(2-1)=π3,14cm2
Gegeben: Formel für Flächeninhalt Kreisring: A=π(ra+ri)(ra-ri)
Gesucht: Herleitung der Formel

Erklärung

Der Flächeninhalt des Kreisringes ist gleich der Differenz aus Flächeninhalt Außenkreis und Flächeninhalt Innekreis:

Aa=πra2
Ai=πri2

A=Aa-Ai=πra2-πr12=π(ra2-ri2)

Dritte Binomische Formel anwenden: (a+b)(a-b)=a2-b2

A=π(ra+ri)(ra-ri)
Gegeben: ri (Radius Innenkreis), ra (Radius Außenkreis)
Gesucht: Radius rK des Kreises mit selben Flächeninhalt wie Kreisring

Beispiel

ri=1 cm
ra=3 cm

A=π(ra2-ri2)=π((3)2-1)=π(3-1)=π26,28cm2

Aus der Bedingung AKreis=A kann der Radius rK bestimmt werden:

AKreis=πrK2
A=π2

πrK2=π2

rK=2ππ=2 cm

Ein Kreis mit Radius 2 cm hat denselben Flächeninhalt wie ein Kreisring der durch die Kreise mit Radius ri=1 cm und ra=3 cm begrenzt wird!
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