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Flächeninhalt eines Kreisrings

Schüler Gymnasium, 10. Klassenstufe

Wie berechnet man den Flächeninhalt eines Kreisrings?

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Kreis (Mathematischer Grundbegriff)
Kreiszahl (Mathematischer Grundbegriff)
Elementare Kreisteile (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Flächeninhalte
Flächenmessung
Grundbegriffe der ebenen Geometrie
Kreis und Mittelsenkrechte

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

Gegeben: $r_{i}$ (Radius Innenkreis), $r_{a}$ (Radius Außenkreis)
Gesucht: A (Flächeninhalt Kreisring)

Beispiel

$r_{i} = 1$ cm
$r_{a} = \sqrt{2}$ cm

$\Rightarrow A_{i} = π \cdot r_{i}^{2} = π \cdot 1^{2} = π \approx 3,14 c m^{2}$ (Flächeninhalt Innenkreis)

$\Rightarrow A_{a} = π \cdot r_{a}^{2} = π \cdot {(\sqrt{2})}^{2} = π \cdot 2 \approx 6,28 c m^{2}$ (Flächeninhalt Außenkreis)

Differenz aus den beiden Flächen ergibt Fläche des Kreisringes:

$\Rightarrow A = A_{a} - A_{i} = 2 \cdot π - π = π \approx 3,14 c m^{2}$

Berechnung kann auch direkt über Formel erfolgen:

$\Rightarrow A = π \cdot (r_{a}^{2} - r_{i}^{2}) = π \cdot ({(\sqrt{2})}^{2} - 1) = π \cdot (2 - 1) = π \approx 3,14 c m^{2}$

Gegeben: Formel für Flächeninhalt Kreisring: $A = π \cdot (r_{a} + r_{i}) \cdot (r_{a} - r_{i})$
Gesucht: Herleitung der Formel

Erklärung

Der Flächeninhalt des Kreisringes ist gleich der Differenz aus Flächeninhalt Außenkreis und Flächeninhalt Innekreis:

$A_{a} = π \cdot r_{a}^{2}$
$A_{i} = π \cdot r_{i}^{2}$

$\Rightarrow A = A_{a} - A_{i} = π \cdot r_{a}^{2} - π \cdot r_{1}^{2} = π \cdot (r_{a}^{2} - r_{i}^{2})$

Dritte Binomische Formel anwenden: $(a + b) \cdot (a - b) = a^{2} - b^{2}$

$\Rightarrow A = π \cdot (r_{a} + r_{i}) \cdot (r_{a} - r_{i})$

Gegeben: $r_{i}$ (Radius Innenkreis), $r_{a}$ (Radius Außenkreis)
Gesucht: Radius $r_{K}$ des Kreises mit selben Flächeninhalt wie Kreisring

Beispiel

$r_{i} = 1$ cm
$r_{a} = \sqrt{3}$ cm

$\Rightarrow A = π \cdot (r_{a}^{2} - r_{i}^{2}) = π \cdot ({(\sqrt{3})}^{2} - 1) = π \cdot (3 - 1) = π \cdot 2 \approx 6,28 c m^{2}$

Aus der Bedingung $A_{K r e i s} = A$ kann der Radius $r_{K}$ bestimmt werden:

$A_{K r e i s} = π \cdot r_{K}^{2}$
$A = π \cdot 2$

$\Rightarrow π \cdot r_{K}^{2} = π \cdot 2$

$\Rightarrow r_{K} = \sqrt{\frac{2 \cdot π}{π}} = \sqrt{2}$ cm

$\Rightarrow$ Ein Kreis mit Radius $\sqrt{2}$ cm hat denselben Flächeninhalt wie ein Kreisring der durch die Kreise mit Radius $r_{i} = 1$ cm und $r_{a} = \sqrt{3}$ cm begrenzt wird!

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