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Abituraufgabe NRW 2007 Flächeninhalt

Schüler Gymnasium, 13. Klassenstufe

Tags: Abitur, Flächeninhalt

X-Eagle aktiv_icon

13:58 Uhr, 07.04.2009

Hallo, ich bereite mich im moment auf die Abiturprüfung in Mathe dieses Jahr in NRW vor.
Dazu habe ich eine Aufgabe von

2007 .

Aufgabe:
Vorwort:
Der rechts abgebildete Würfel mit der Kantenlänge 4

[

LE] hat
die gegenüberliegenden Ecken

O (0 | 0 | 0)

und

G (4 | 4 | 4) .

Er wird durch eine Ebene

E

so in zwei Teile zerlegt, dass als
Schnittfläche das grau gefärbte regelmäßige Sechseck entsteht,
dessen Ecken die Mittelpunkte

P (4 | 0 | 2), Q (2 | 0 | 4),

R (0 | 2 | 4), S (0 | 4 | 2), T (2 | 4 | 0)

und

U (4 | 2 | 0)

von sechs
Würfelkanten sind.

Aufgabe:

b)

Zeigen Sie, dass das Dreieck PMQ mit

M (2 | 2 | 2)

gleichseitig ist. Bestimmen Sie seinen
Flächeninhalt.
Berechnen Sie den Umfang des Sechsecks und seinen Flächeninhalt.

(12

Punkte)

[

Zur Kontrolle: Das Dreieck PMQ hat den Flächeninhalt

23

FE.

]

Meine Lösung:
Der Nachweis der Gleichseitigkeit war ganz einfach. Ich habe einfach die Verbindungsvektoren der Punkte berechnet und es kam der Lösung entsprechend immer Wurzel 8 raus.

Jetzt ging es um den Flächeninhalt:
Mein Ansatz:

Formel:

\frac{1}{2} \cdot g \cdot h

Dann brauchte ich die Höhe.
Diese habe ich mit Pythagoras gebildet:
(|QM|)²=(1/2*(|PQ|))²+h²

h =

Wurzel((|QM|)-(1/2*(|PQ|))²)

h = 2

Also:

A = \frac{1}{2} \cdot

Wurzel8

\cdot 2

A =

ca.

2,83

FE

In der Lösung steht aber was ganz anderes und den Lösungsweg kann ich auch nicht nachvollziehen. Ich sehe in meiner Rechnung auch keinen Fehler...

: (

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Flächeninhalte
Flächenmessung
Kreis: Umfang und Flächeninhalt
Kreisteile: Berechnungen am Kreis

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

pleindespoir aktiv_icon

21:06 Uhr, 07.04.2009

Kannst du mal ne Zeichnung dazu machen?

Vermutlich ist durch die Räumlichkeit etwas irgendwie schräg und deshalb hast Du was übersehen.

X-Eagle aktiv_icon

08:49 Uhr, 08.04.2009

hier ist ein link direkt zur aufgabe, da gibt es auch eine zeichnung

http//rapidshare.com/files/218771379/M07-GK-HT-6-S.pdf.html

DocMoris aktiv_icon

08:53 Uhr, 08.04.2009

einfach betrag von (ABxAC):2 das wars schon

Astor aktiv_icon

09:42 Uhr, 08.04.2009

Hallo,
leider kann ich das Sechseck nicht sehen.
Aber, wenn das Sechseck regelmäßig ist, so besteht es aus 6 gleichseitigen Dreiecken.
Gruß Astor

X-Eagle aktiv_icon

10:23 Uhr, 08.04.2009

@ astor, es geht doch garnicht um das sechseck, den flächeninhalt davon könnte ich dann ja ganz einfach berechnen

@ Doc Moris
Es gibt dort weder einen punkt

A,

noch

B,

noch

c

und man berechnet eine Fläche doch auch nicht mit dem Skalarprodukt?

pleindespoir aktiv_icon

00:11 Uhr, 09.04.2009

Die Schenkellänge des gleichseitigen Dreiecks ist die Seitenlänge des Sechsecks. Ohne Vektorrechnung ist das trivial zu finden:

s l = \sqrt{2^{2} + 2^{2}}

s l = 2 \cdot \sqrt{2}

Die Höhe eines gleichseitigen Dreiecks erhält man so:

h = \sqrt{s l^{2} - (\frac{1}{2} s l^{2})}

Die Fläche:

A = \frac{1}{2} \cdot h \cdot s l

A = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{s l^{2} - (\frac{1}{2} s l^{2})} \cdot s l

A = \frac{1}{2} \cdot s l \sqrt{1 - (\frac{1}{2})^{2}} \cdot s l

A = \frac{1}{2} \cdot s l \sqrt{\frac{3}{4}} \cdot s l

A = \frac{1}{2} \cdot s l \cdot \frac{1}{2} \sqrt{3} \cdot s l

A = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot \sqrt{2} \cdot \frac{1}{2} \sqrt{3} \cdot 2 \cdot \sqrt{2}

A = \sqrt{2} \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{2}

A = 2 \sqrt{3}

Damit hätten wir mal bewiesen, dass die Kontrolllösung korrekt ist.
@X-Eagle:
So, jetzt poste doch mal bitte den Rechenweg, das vektoriell nachzuweisen.

X-Eagle aktiv_icon

09:41 Uhr, 09.04.2009

Hey, ich hab deins Jetzt nocheinmal genauer betrachtet.

s| ist ja s|= $\sqrt{2 ² + 2 ²}$ = $\sqrt{8}$

so wie ich es auch raus hatte.

dementsprechent ist h:

h= $\sqrt{(\sqrt{8}) ² - (1 / 2 * (\sqrt{8}) ²)}$

h= $\sqrt{8 - 4}$

h= $\sqrt{4}$

h=2

Das entspricht auch wiederum dem was ich raus habe in der Vektorrechnung

A= 1/2* h * s|

A= 1/2 * 2 * $\sqrt{8}$

A= $\sqrt{8}$ = ca. 2,83

Was auch wiederum meinem Ergebnis entspricht. Ich habe jetzt nur die einzelnen teile einzelnt ausgerehcnet und dann eingesetzt, verstehe aber nicht, was daran falsch sein soll....

Den Ansatz über mir kann ich nachvollziehen, verstehe aber nicht, warum das was ich jetzt geschrieben habe falsch ist....

mein Vektorialer Ansatz steht doch im ertsen Post...

pleindespoir aktiv_icon

19:16 Uhr, 10.04.2009

Du brauchst die Höhe der Pyramide für den Aufgabenteil c nehme ich an, nämlich um das Volumen zu berechnen. Im Aufgabenteil a musste die Ursprungsgerade OG ermittelt werden. hast Du das gemacht und verstanden? Auf dieser Gerade liegt auch der Höhenvektor. Er beginnt da, wo die Gerade OG die Sechseckgrundfläche schneidet und endet im Punkt G(4|4|4). Die Ebenengleichung sollte da ja auch ermittelt werden. Bei mir hat die Pyramide die Höhe

2 \sqrt{3}

.

Kommst Du da auch hin?

X-Eagle aktiv_icon

19:47 Uhr, 10.04.2009

Gib hier Deine Frage ein. Gib am besten Deine bisherigen Lösungsansätze an. Du ich wiess garnicht wovon du redest, es geht doch garnicht um die pyrmide, sodnern um das dreieck, die höhe des Dreiecks

pleindespoir aktiv_icon

20:13 Uhr, 10.04.2009

Sorry, ich war schon eine Teilaufgabe weiter....

pleindespoir aktiv_icon

20:24 Uhr, 10.04.2009

Dau schreibst:

h = \sqrt{(\sqrt{8})^{2} - (\frac{1}{2} \cdot (\sqrt{8})^{2}})

und das ist leider falsch - richtig ist:

h = \sqrt{(\sqrt{8})^{2} - (\frac{1}{2} \cdot (\sqrt{8})})^{2}

Probier mal damit weiter!

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