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Ableitung von arcosh über die Umkehrfunktion

Universität / Fachhochschule

Differentiation

Tags: Areakosinus Hyperbolicus, Umkehrfunktion

Amana83 aktiv_icon

10:14 Uhr, 27.05.2008

Hallo

Ich soll die Ableitung von arcosh über die Umkehrfunktion bestimmen.

Ich habe dafür die Formel:

\frac{d}{d y} f^{- 1} (y) = \frac{1}{\frac{d}{d x} f (x)}

.
Die Umkehrfunktion ist

cosh = \frac{1}{2} e^{x} + \frac{1}{2} e^{- x}

.

Berechnung der Umkehrfunktion:

x = \frac{1}{2} e^{y} + \frac{1}{2} e^{- y}

ln (2 x) = y - (- y)

y = ln 2 \frac{x}{2}

Und dieses Ergebnis habe ich über Punktprobe überprüft, es ist falsch, ich weiß aber nicht was ich falsch mache bei der Berechnung.

Eigentlich müsste doch

\frac{1}{x + \sqrt{x^{2} - 1}}

rauskommen.)

Vielen Dank schonmal für Antworten.

Kerstin

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Ableitung (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzenquotient (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzierbarkeit (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitung einer Funktion an einer Stelle (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitungsfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitungsregeln (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Umkehrfunktion

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anonymous

11:19 Uhr, 27.05.2008

Hallo,

mit

\frac{d}{d x} cosh x = sinh x

fogt für die Ableitung des Areakosinus:

\frac{d}{d y}

arcosh

y = \frac{1}{\frac{d}{d x} cosh x} = \frac{1}{sinh x}

Mit

{cosh}^{2} x - {sinh}^{2} x = 1

fogt weiter

\frac{d}{d y}

arcosh

y = \frac{1}{\sqrt{{cosh}^{2} x - 1}} = \frac{1}{\sqrt{y^{2} - 1}},

q . e . d

Gruß, Diophant

Amana83 aktiv_icon

14:22 Uhr, 27.05.2008

Danke für die Antwort
Gruß Kerstin

mokka60 aktiv_icon

16:28 Uhr, 27.05.2008

Hallo,

die Lösung von Diophant ist natürlich kurz und sehr elegant.
Du fragtest nach deinem Fehler: Der liegt beim Logarithmieren:

log (a + b)

ist nicht gleich

log (a) + log (b) .

Nach deinem Eintrag hast du vermutlich den Weg über die direkte Umkehrfunktion von arcosh(x) gesucht. Der geht so.

In der Formel wird die Ableitung der Umkehrfunktion in Abhängigkeit von der Variablen

y (!!)

ausgedrückt,

d . h

. bei der Herleitung der Umkehrfunktion wird der Variablentausch

(x

und

y

vertauschen) noch nicht gemacht.

y = f (x)

wird nur nach

x

aufgelöst:

x = f^{- 1} (y)

In deiner Herleitung der Umkehrfunktion muss es also heißen:

2 y = e^{x} + e^{- x}

(bei dir:

2 x = e^{y} + e^{- y}

). Das war algebraisch noch richtig)

Dann Substitution:

z = e^{x}

Damit:

2 y = z + \frac{1}{z} | \cdot z

z^2-2yz+1=0 (quadratische Gleichung mit der Unbekannten

z)

z 1,2 = \frac{2 y \pm \sqrt{4 y^{2} - 4}}{2} = y \pm \sqrt{y^{2} - 1}

Jetzt (Rücksubstitution):

e^{x} = y \pm \sqrt{y^{2} - 1}

und daraus:

x = ln (y \pm \sqrt{y^{2} - 1})

bzw.

f^{- 1} (y) = ln (y \pm \sqrt{y^{2} - 1}) .

Weil eine Funktion nur umkehrbar ist, wenn sie streng monoton ist, muss man sich beim

cosh (x)

auf

x \geq 0

oder

x < = 0

beschränken. Für

x \geq 0

gilt in obigem Term das "+" vor der Wurzel. Dieser Fall wird nun weiter verfolgt.

Fürdie Anwendung der "Ableitungsformel" ist

f (x) = cosh (x)

als Ausgangsfunktion und

f^{- 1} (x) =

arcosh(x) als Umkehrfunktion zu betrachten.

Zur Anwendung der Formel wird jetzt von der Ausgangsfunktion

f (x) = e^{x} + e^{- x}

die Ableitung benötigt.

f' (x) = e^{x} - e^{- x}

Damit liefert die Formel:

f^{- 1}' (y) = \frac{1}{e^{x} - e^{- x}} = \frac{e^{x}}{{(e^{x})}^{2} - 1},

wobei

x = f^{- 1} (y) = ln (y + \sqrt{y^{2} - 1})

einzusetzen ist (um die auf der linken Seite der Formel ausgedrückte Abhängigkeit von der Variablen

y

auch rechts zu bekommen!).

Damit:

f^{- 1}' (y) = \frac{y + \sqrt{y^{2} - 1}}{({(y + \sqrt{y^{2} - 1})}^{2} - 1) .}

Erweitert man diesen Bruch mit

(y - \sqrt{y^{2} - 1}),

so erhält man

f^{- 1}' (y) = \frac{1}{\sqrt{y^{2} - 1}}

Jetzt fehlt nur noch der letzte (bis jetzt aufgeschobene) Schritt , die Variablen

x

und

y

zu vertauschen, damit man die übliche Darstellung in Abhängigkeit von der Variablen

x

bekommt:

f^{- 1}' (x) = \frac{1}{\sqrt{x^{2} - 1}}

MfG

Amana83 aktiv_icon

12:12 Uhr, 04.06.2008

Danke, alle Unklarheiten beseitigt.
Kerstin

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