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Abstand der Geraden vom Ursprung

Universität / Fachhochschule

Vektorräume

Tags: Vektorraum

hoernchen aktiv_icon

13:42 Uhr, 31.03.2010

Betrachten Sie den zweidimensionalen reellen arithmetischen Vektorraum .

Gegeben seien zwei Punkte:

(\begin{matrix} 6 \\ - 18 \end{matrix}), (\begin{matrix} - 14 \\ - 5 \end{matrix})

Bestimmen Sie die Gerade durch diese beiden Punkte in Normalform.

Geben Sie einen Normalenvektor an:

(\begin{matrix} 13 \\ 20 \end{matrix})

richtig?

Geben Sie den Abstand der Geraden vom Ursprung an: ? ? ? Gibt es da eine Formel?

Bitte um Hilfe :-)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

ahmedhos aktiv_icon

15:06 Uhr, 31.03.2010

www.onlinemathe.de/forum/x-Vektor-beschreiben-der-Orts-und-Richtungsvekto
http//www.onlinemathe.de/forum/Kleines-Vektorproblemchen

Zuerst Parameterform:
Allgemein:

g : \vec{x} = \vec{a} + λ \cdot (\vec{b} - \vec{a})

\Rightarrow

g : \vec{x} = (\begin{matrix} 6 \\ - 18 \end{matrix}) + λ \cdot ((\begin{matrix} - 14 \\ - 5 \end{matrix}) - (\begin{matrix} 6 \\ - 18 \end{matrix}))

\Leftrightarrow

g : \vec{x} = (\begin{matrix} 6 \\ - 18 \end{matrix}) + λ \cdot (\begin{matrix} - 20 \\ 13 \end{matrix})

Normalform ("Normalenform"):
Multipliziere die Parameterform skalar mit

\vec{n} = (\begin{matrix} 13 \\ 20 \end{matrix})

Allgemein

\vec{x} \cdot \vec{n} = \vec{a} \cdot \vec{n} \Leftrightarrow \vec{n} \cdot (\vec{x} - \vec{a}) = 0

\Rightarrow N F_{g :} (\begin{matrix} 13 \\ 20 \end{matrix}) \cdot (\vec{x} - (\begin{matrix} 6 \\ - 18 \end{matrix})) = 0

Man sucht einen Vektor

\vec{e} = \vec{a} + k \cdot \vec{u}

so, daß

\vec{e}

senkrecht auf

\vec{u}

steht

\Leftrightarrow \vec{e} \cdot \vec{u} = 0

. Die Länge des Vektors

\vec{e}

ist die gesuchte Länge.

\vec{e} = (\begin{matrix} 6 \\ - 18 \end{matrix}) + k \cdot (\begin{matrix} - 20 \\ 13 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 6 - 20 \cdot k \\ - 18 + 13 \cdot k \end{matrix})

\vec{u} = (\begin{matrix} - 20 \\ 13 \end{matrix})

\Rightarrow \vec{e} \cdot \vec{u} = (\begin{matrix} 6 - 20 \cdot k \\ - 18 + 13 \cdot k \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} - 20 \\ 13 \end{matrix}) = - 120 + 400 \cdot k - 234 + 169 \cdot k = 0

\Rightarrow k = \frac{354}{569}

\Rightarrow \vec{e} = (\begin{matrix} 6 - 20 \cdot \frac{354}{569} \\ - 18 + 13 \cdot \frac{354}{569} \end{matrix}) = (\begin{matrix} - \frac{3666}{569} \\ - \frac{5640}{569} \end{matrix})

d (O; g) = | \vec{e} | = \sqrt{{(- \frac{3666}{569})}^{2} + {(- \frac{5640}{569})}^{2}} = 11,82 L . E

hoernchen aktiv_icon

15:19 Uhr, 31.03.2010

ohje :-)

ahmedhos aktiv_icon

15:39 Uhr, 31.03.2010

Wir suchen den Vektor

\vec{e}

und nicht den Vektor

\vec{x}

. Die Länge des Vektors

\vec{e}

ist die gesuchte Länge.
Kannst vielleicht auch die Hesseform anwenden:
http//www.onlinemathe.de/forum/HNF-Hesseform-einer-Geraden

hoernchen aktiv_icon

15:57 Uhr, 31.03.2010

Ist es mit HNF einfacher ? :-)

d=n0→⋅(q→-a→)

n 0

ist der Normaleneinheitsvektor!? Was ist dann

q

und

a

in meinem Fall?

ahmedhos aktiv_icon

16:04 Uhr, 31.03.2010

Pass auf. Ich "glaube", daß die Hesseform für den Abstand der Geraden von allen Punkten der Ebene außer 0 geeignet ist. Ich schau kurz nach und melde mich ein bisschen später

. .

hoernchen aktiv_icon

17:01 Uhr, 31.03.2010

und weißt du schon mehr?

ahmedhos aktiv_icon

17:10 Uhr, 31.03.2010

Wie gesagt, ich bin mir nicht sicher ob die Hesseform auch für den Nullvektor geeignet ist. Du kannst ja die Hesseform der Geraden aufstellen und den Punkt

(\begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix})

einsetzen.

hoernchen aktiv_icon

17:12 Uhr, 31.03.2010

kannst du mir das bitte aufschreiben wie das genau funktioniert?

BjBot aktiv_icon

17:25 Uhr, 31.03.2010

Dein Normalenvektor (13;20) von oben ist korrekt.
Damit folgt sofort 13x+20y=c als Normalengleichung und das c kriegst du wenn du einfach einen der beiden Punkte einsetzt.
Um den Abstand dieser Geraden zum Ursprung zu erhalten musst du nur die Gleichung durch den Betrag des Normalenvektors dividieren, also hier durch wurzel(13²+20²)
Auf der rechten Seite steht dann automatisch der Abstand zum Ursprung, mehr ist es nicht.
Falls was negatives da steht einfach den Betrag bilden.

ahmedhos aktiv_icon

17:31 Uhr, 31.03.2010

Ich habe

\vec{n}

wieder falsch da stehen. Ich korrigiere es nachdem ich mit der Antwort auf deiner anderen Frage geschafft habe.

Wenn man hier gucken würde: de.wikipedia.org/wiki/Hessesche_Normalform
Dann weiß man, daß BjBot absolut Recht hat.

(\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \end{matrix})

Die Normalenform Der Gerade habe ich oben bestimmt:

N F_{g :} (\begin{matrix} 13 \\ 20 \end{matrix}) \cdot (\vec{x} - (\begin{matrix} 6 \\ - 18 \end{matrix})) = 0

\Leftrightarrow (\begin{matrix} 13 \\ 20 \end{matrix}) \cdot \vec{x} - (\begin{matrix} 13 \\ 20 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 6 \\ - 18 \end{matrix}) = 0

\Leftrightarrow (\begin{matrix} 13 \\ 20 \end{matrix}) \cdot \vec{x} = (\begin{matrix} 13 \\ 20 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 6 \\ - 18 \end{matrix})

\Leftrightarrow (\begin{matrix} 13 \\ 20 \end{matrix}) \cdot \vec{x} = 13 \cdot 6 - 18 \cdot 20 = - 282

hoernchen aktiv_icon

17:52 Uhr, 31.03.2010

ok danke für eure Hilfe, es hat geklappt und ich habe es soweit auch verstanden!

ahmedhos aktiv_icon

13:13 Uhr, 01.04.2010

www.onlinemathe.de/forum/Abst%C3%A4nde

Wie von Juekei beschrieben worden ist, kann man auch hier genauso vorgehen:

g : \vec{x_{g}} = (\begin{matrix} 6 \\ - 18 \end{matrix}) + λ \cdot (\begin{matrix} - 20 \\ 13 \end{matrix})

h : \vec{x_{h}} = μ \cdot (\begin{matrix} 13 \\ 20 \end{matrix})

h

steht senkrecht auf

g

\vec{x_{g}} = \vec{x_{h}} = \vec{S}

\Rightarrow

Gleichungssystem:

(\begin{matrix} 6 \\ - 18 \end{matrix}) + λ \cdot (\begin{matrix} - 20 \\ 13 \end{matrix}) = μ \cdot (\begin{matrix} 13 \\ 20 \end{matrix})

13 \cdot μ + 20 \cdot λ = 6

II)

20 \cdot μ - 13 \cdot λ = - 18

\Rightarrow

λ = 0,6221441124780316

μ = - 0,4956063268892794

\Rightarrow \vec{S} = (\begin{matrix} - 6,44288225 \\ - 9,91212654 \end{matrix})

\Rightarrow d = \sqrt{{(- 6,44288225)}^{2} + {(- 9,91212654)}^{2}} = 11,822055

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