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Abstand zweier graden g1 und g2.

Schüler Gymnasium,

Tags: Abstand, Analytische Geometrie, Gerade, tetraeder, windschief

kayro aktiv_icon

13:21 Uhr, 07.06.2011

Ich sitze hier vor meiner mündlichen Aufgabe und komme hier überhaupt nicht weiter. Ich habe ein Tetraeder mit dem Punkten

A (8,0,0) B (0,4,0) C (0,0,2)

und den Ursprung

D (0,0,0)

Und die frage lautet:

Welchen Abstand haben die Geraden

g 1

(durch A und

C)

und

g 2

(durch

B

und

D)

? WIe bestimmt man allgemein den Abstand windschiefer Geraden?

Ich komme hier überhaupt nicht weiter und weiß nicht wie ich diese Aufgabe lösen kann. Würde für jede Hilfe dankbar sein.

MIt freundl. Gruß

Kayro

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Abstand Punkt Ebene
Abstand Punkt Gerade
Ebene Geometrie - Einführung
Geraden im Raum
Grundbegriffe der ebenen Geometrie

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

anonymous

13:56 Uhr, 07.06.2011

Moin,

Der Abstand zweier windschiefer Geraden, allgemein:

g_{1} : \vec{x} = {\vec{S}}_{1} + s \cdot {\vec{R}}_{1}

g_{2} : \vec{x} = {\vec{S}}_{2} + t \cdot {\vec{R}}_{2}

Wie man der Skizze entnimmt, bastelt man sich eine Hilfebene, die die eine Gerade komplett enthält (etwa

g_{1})

und parallel zur anderen Geraden ist. Die Hilfebene lautet also stets:

E_{h} : \vec{x} = {\vec{S}}_{1} + u \cdot {\vec{R}}_{1} + t \cdot {\vec{R}}_{2}

Nun reduziert sich das Problem "Abstand zweier windschiefer Geraden" auf das "Abstand einer parallelen Geraden zur Ebene"-Problem, bzw. eigentlich zum Abstand "Punkt-Ebene"-Problem. (Da

g_{2}

parallel zu

E

ist, hat natürlich jeder Punkt den gleichen Abstand zu

E :

Wir berechnen also stets den Abstand von

S_{2}

E_{h})

Abstände zu Ebenen berechnet die HNF (hessische Normalenform), falls die unbekannt ist, muss der Lotfusspunkt bestimmt werden. Letzteres erkläre ich aber nur, wenn du die HNF nicht kennst! ;-)

Grüße, IP

kayro aktiv_icon

14:28 Uhr, 07.06.2011

Erstmal danke für deine Hilfe und die Erklärung.

=)

Ich merke grade, dass ich wohl grössere Lücken habe als gedacht. Die Hessesche Normalform ist mir bekannt, muss sie nur nochmal auffrischen. Trotzdem fehlt mir nun der Schubser wie ich in die Rechnung einsteigen soll. Ich tue mich ziemlich schwer mit der Aufgabe, habe mir schon mehrere Videos angekuckt und bin am Verzweifeln.

= (

Shipwater aktiv_icon

15:01 Uhr, 07.06.2011

Naja zunächst berechnest du erstmal die Geradengleichungen. Und dann eben die Gleichung der Hilfsebenen, die eine der Geraden enthält und zur anderen parallel ist. Wo genau kommst du denn nicht weiter?
Mein Rechner sagt Abstand der windschiefen Geraden

d = \frac{8}{17} \sqrt{17} L E

kayro aktiv_icon

15:15 Uhr, 07.06.2011

Auch dir erstmal danke.

=)

Mein Problem an der ganzen Sache ist, dass mir erstmal selbst wenn ich mir das aufzeichne um es besser zu verstehen und nachzuvollziehen komm ich völlig durcheinander. Ich hab bei diesem Thema allgemein das Problem, dass wenn ich zum Beispiel jetzt was ausrechnen soll, ich nicht weiß welche Punkte ich wo einsetzten muss, und mit den Formeln überhaupt nicht klarkomme. Grade gestern saß ich den ganzen Abend im Internet um herauszufidnen und zu verstehen wie man die Gradengleichung aufstellt, das Problem ist, dass ich mit den Buchstaben nicht klarkomme. Wann weiß ich welche Punkte ich wo einsetze? Ich weiß das klingt doof aber ich krieg das einfach nicht hin..

kayro aktiv_icon

15:18 Uhr, 07.06.2011

Und desweiteren. Wann weiß ich ob ne Grade windschief ist? Es ist klar wie es aussieht, wenn es parallel und identisch ist. Aber diese Zwei Graden in meinem Fall sehen aus als ob sie sich schneiden.:S

Shipwater aktiv_icon

15:24 Uhr, 07.06.2011

Das geht nicht nur dir so. Im Dreidimensionalen kann man sich alles nicht mehr so schön aufmalen wie damals im Zweidimensionalen. Es muss sich ein gewisses Vorstellungsvermögen bilden, so dass man sich die Problemstellungen in Gedanken klar machen kann. Und habe ich das richtig verstanden, dass du Probleme dabei hast die Geradengleichungen aufzustellen? Allgemein gilt für die Gleichung einer Geraden, die durch

A

und

B

verläuft (zum Beispiel)

g : \vec{x} = \vec{0 A} + s \cdot \vec{A B}

In deiner Aufgabe verläuft die Gerade

g_{1}

durch

A (8 | 0 | 0)

und

C (0 | 0 | 2)

. Der Ortsvektor vom Punkt

A

ist einfach

\vec{0 A} = (\begin{matrix} 8 \\ 0 \\ 0 \end{matrix})

. Dieser kann als Stützvektor der Geraden gewählt werden. Und als Richtungsvektor kann

\vec{A C} = (\begin{matrix} - 8 \\ 0 \\ 2 \end{matrix})

gewählt werden. Also

g_{1} : \vec{x} = (\begin{matrix} 8 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}) + s \cdot (\begin{matrix} - 8 \\ 0 \\ 2 \end{matrix})

Hast du das soweit verstanden und schaffst du es nun eine Geradengleichung von

g_{2}

zu erstellen?
Edit: Zwei Geraden sind windschief zueinander, wenn sie sich weder schneiden noch parallel zueinander sind. In der Papierebenenskizze kann es so aussehen als würden sich zwei windschiefe Geraden schneiden, aber der Schein trügt!

Gruß Shipwater

kayro aktiv_icon

15:36 Uhr, 07.06.2011

Ohhh ja ich versuch es jetzt für

g 2

und stell es rein. Aber ich bin nicht so schnell. Danke dir! Haleluja! Ein Hoffnungschimmer!:-)

kayro aktiv_icon

15:52 Uhr, 07.06.2011

So nachdem wie ich das verstanden habe ist die Lösung für

g 2

folgende:

g 2 : x = (0,4,0) + S x (0, - 4, o)

Richtig so?
Und aus diesen beiden Gleichungen soll ich den Abstand ausrechnen..?

: S

Shipwater aktiv_icon

15:58 Uhr, 07.06.2011

Ja das ist richtig. Aber weil die Gerade

g_{2}

durch

D (0 | 0 | 0)

(also durch den Ursprung) verläuft, ist eigentlich kein Stützvektor notwendig. Also

g_{2} : \vec{x} = (\begin{matrix} 0 \\ - 4 \\ 0 \end{matrix}) \cdot s

reicht aus. Desweiteren kann man einfachheitshalber auch

(\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix})

als Richtungsvektor wählen, weil dieser linear abhängig zu

(\begin{matrix} 0 \\ - 4 \\ 0 \end{matrix})

ist. Ergibt dann schließlich

g_{2} : \vec{x} = (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}) \cdot s

. Nun erkennt man auch sofort, dass

g_{2}

die

x_{2} - A c h s e

ist.

kayro aktiv_icon

16:07 Uhr, 07.06.2011

Gut das leuchtet ein. Und wie rechne ich nun den Abstand aus?

Shipwater aktiv_icon

16:10 Uhr, 07.06.2011

Du ermittelst nun die Gleichung der Hilfsebenen, die eine der Geraden enthält und parallel zur anderen ist. Lies dir dazu nochmal den Beitrag von IMEAP durch.

kayro aktiv_icon

16:13 Uhr, 07.06.2011

Ok, vielen dank ich versuch es..

Shipwater aktiv_icon

19:13 Uhr, 07.06.2011

Und? Hast du es geschafft?

kayro aktiv_icon

19:19 Uhr, 07.06.2011

Sooo ich habe jetzt aus den zwei Geraden die Hilfsebene ermittelt.
Eh:(8,0,0)

+ r (- 8,0,2) + s (0, - 4,0)

Dann hab ich mich mit einer Freundin telefonisch beraten und sie meint ich sollte dann das Kreuzprodukt anwenden. Hier kam

(- 8, - 8,32)

raus. Das sieht irgendwie für mich falsch aus und außerdem weiß ich nicht wie ich danach weiter machen soll. Ich komm mir so doof vor.

= (

Shipwater aktiv_icon

19:55 Uhr, 07.06.2011

Die Parametergleichung deiner Hilfsebenen ist richtig. Als nächstes solltest du diese in Koordinatenform (Hessesche Normalenform) bringen, damit die Abstandsberechnung möglichst einfach wird. Wie deine Freundin schon gesagt hat, ergibt das Kreuzprodukt der Richtungsvektoren einen Normalenvektor der Ebene. Ich erhalte

\vec{n} = (\begin{matrix} - 8 \\ 0 \\ 2 \end{matrix}) \times (\begin{matrix} 0 \\ - 4 \\ 0 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 8 \\ 0 \\ 32 \end{matrix})

. Beziehungsweise

\vec{n_{2}} = \frac{1}{8} \vec{n} = (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 4 \end{matrix})

Zur Kontrolle ist hilfreich: www.analyzemath.com/vector_calculators/vector_cross_product.html
Also

E_{h} : [\vec{x} - (\begin{matrix} 8 \\ 0 \\ 0 \end{matrix})] \cdot (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 4 \end{matrix}) = 0

E_{h} : x_{1} + 4 x_{3} = 8

Und die HNF ergibt sich dann zu

E_{h} : \frac{x_{1} + 4 x_{3} - 8}{\sqrt{17}} = 0

Du suchst ja nun den Abstand von

E_{h}

und

g_{2}

. Da

g_{2}

durch den Ursprung verläuft reicht es also den Abstand von

E_{h}

zum Ursprung zu berechnen. Und das geht mit der HNF ja schnell.

anonymous

20:13 Uhr, 07.06.2011

Moin,

wollte mich nur bei Shipwater bedanken, dass er hier so nett weitererklärt hat. Ich habe bis gerade

...

. Nachhilfe gegeben und war verhindert! ;-)

Grüße, IP

Kerimt aktiv_icon

20:25 Uhr, 07.06.2011

moin, hatte heute auch mit so was zu tun...

es gibt noch einen zweiten Weg. Dort wo zwei windschiefe Geraden den geringsten Abstand zueinander haben, kann man eine Senkrechte im Punkt

P

g 1

bilden, welche die Gerade

g 2

im Punkt

Q

ebenfalls senkrecht schneidet.

Aufgrund dieser Tatsache kann man durch die Parametergleichung den Vektor PQ mit den den Parametern

s

und

t

berechnen.
Da PQ senkrecht zu

g 1

ist, muss das Skalarprodukt vom Vektor PQ zum Richtungusvektor von

g 1 = 0

ergeben und das Skalarprodukt vom Vektor PQ zum Richtungsvektor von

g 2

auch 0 ergeben. Dadurch erhält man ein Lineares Gleichungssystem, wodurch man Werte für

s

und

t

bekommt. Diese setzt man bei PQ ein und erhält den Vektor von PQ ohne Variablen. Nun muss man nur noch den Betrag vom Vektor PQ berechnen und erhält so den Abstand.

kayro aktiv_icon

20:26 Uhr, 07.06.2011

Woher hast du Wurzel