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Analysis Waldstück

Schüler Gymnasium, 13. Klassenstufe

Tags: Wendepunkt

iranlady91 aktiv_icon

21:35 Uhr, 06.05.2011

Hallo, hab eine Verständnisfrage undzwar:

Ein Waldstück wird nach Norden durch einen Fluss begrenzt, dessen Verlauf die Funktion

f (x) = 4 \cdot e^{- o,5 x}

beschreibt. Im Westen bildet eine in Nord-Süd-Richtung verlaufende Autobahn die Grenze, im Süden und Osten den Fußweg

g (x) : \frac{1}{3} x - 2

.

Im Wendepunkt des Flusses befindet sich
eine Anlegestelle. Von dort verläuft senkrecht
zum Fluss ein Forstweg.
Wo trifft dieser auf den Fußweg?

Es ist ja klar, dass man die Wendepunkte ausrechnen muss, also

f'' (x) = 0; W (\frac{4}{2,17})

Aber was ich jetzt nicht verstehe ist, wie man auf diese Zeile kommt:

n (x) = - 1 / f' (4) \cdot (x - 4) + 2,17 =

1,85x-5,22(es stand so im Erwartungshorizont)Wäre lieb, wenn es mir jemand erklären könnte :-)

und dann muss man

x

ausrechnen, das versteh ich

: n (x) = g (x) : 1,85 x - 5,22 = \frac{1}{3} x - 2; x = 2,12

.

Der Forstweg trifft bei ca.

x = 2,12

auf den Fußweg.
LG

Vollbildaufzeichnung 06.05.2011 212843.bmp

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Krümmungsverhalten
Wendepunkte

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Shipwater aktiv_icon

22:09 Uhr, 06.05.2011

Du musst im Prinzip einfach nur die Wendenormale von

f (x) = 4 x \cdot e^{- \frac{1}{2} x}

mit

g (x) = \frac{1}{3} x - 2

"schneiden". Ich erhalte

W_{f} (4 | \frac{16}{e^{2}})

mit

f' (4) = - \frac{4}{e^{2}} \Leftrightarrow - \frac{1}{f' (4)} = \frac{e^{2}}{4}

. Daraus ergibt sich die Wendenormale von

f

n (x) = \frac{e^{2}}{4} \cdot x + \frac{16 - e^{4}}{e^{2}}

. Und Schnittstelle von

n

und

g

brauchst du jetzt.

iranlady91 aktiv_icon

22:23 Uhr, 06.05.2011

Danke erstmal für die Antwort! Aber wieso rechnest du

- \frac{1}{f (4)}

bzw. wie kommst du auf die

- 1

Shipwater aktiv_icon

22:28 Uhr, 06.05.2011

Die Wendetangente hat die Steigung

m_{t} = f' (4)

. Und die Wendenormale soll nun senkrecht zur Wendetangente verlaufen. Nach dem Orthogonalitätskriterium muss somit

m_{t} \cdot m_{n} = - 1

gelten, woraus sich

m_{n} = - \frac{1}{m_{t}} = - \frac{1}{f' (4)}

ergibt. Hier kannst du das bei Bedarf nochmal nachlesen:
http//de.wikipedia.org/wiki/Orthogonalit%C3%A4t#Analytische_Geometrie

iranlady91 aktiv_icon

22:32 Uhr, 06.05.2011

Stimmt! Vielen vielen Dank :-)

Shipwater aktiv_icon

22:32 Uhr, 06.05.2011

Gern geschehen.

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