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Analytische Geometrie

Schüler Gymnasium, 12. Klassenstufe

Tags: Punkt

Maike1991 aktiv_icon

10:48 Uhr, 07.03.2010

Hey,
also ich hab hier ne Aufgabe, wo ich einfach nicht weiter weiß.
Wenn man einen Abstand ausrechnen muss, habe ich eigentlich kein Problem, aber wenn ich den Abstand habe und was ausrechnen muss, hängts bei mir!
Gegeben ist die Gerade g:Vektor

x = (\frac{0}{11} / 3) + t \cdot (\frac{0}{1} / 1) .

a)

Bestimmen Sie alle Punkte der x1-Achse, die von der Geraden

g

den Abstand 9 haben.

b)

Bestimmen Sie ohne Rechnung den Punkt der x1-Achse mit dem geringsten Abstand von der Geraden

g

. Begründen Sie ihrte Antwort.

Danke für die Hilfe
lg Maike1991

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ebene Geometrie - Einführung
Grundbegriffe der ebenen Geometrie

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

michael777 aktiv_icon

10:56 Uhr, 07.03.2010

kleine Hilfe:

die Gerade hat den Richtungsvektor

(\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{matrix})

die x_1-Achse hat den Richtungsvektor

(\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix})

was ergibt das Skalarprodukt dieser beiden Vektoren?
was bedeutet das? wie verläuft die Gerade zur x-Achse?

Maike1991 aktiv_icon

11:03 Uhr, 07.03.2010

Ah...die sind orthogonal zueinander...
das heißt der

P (\frac{9}{0} / 0)

hat den Abstand 9 und der Punkt (-9/0/0)...gibt es da noch mehr Punkte?
...bei der

b)

heißt das dann, dass

(\frac{0}{0} / 0)

den Abstand 0 hat, also hat der Punkt

P (\frac{1}{0} / 0)

den geringsten Abstand. oder?

michael777 aktiv_icon

11:56 Uhr, 07.03.2010

sorry, war kurz mal weg

ein Punkt auf der x_1-Achse hat die Koordinaten

P (s | 0 | 0)

Abstand vom Punkt

P

zur Geraden durch Hilfsebene ausrechnen:

Ebene senkrecht zur Geraden durch

P, d . h

. Richtungsvektor der Geraden ist Normalenvektor der Ebene:

in Normalenform:

(\vec{x} - (\begin{matrix} s \\ 0 \\ 0 \end{matrix})) \cdot (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}) = 0

in Koordinatenform:

x_{2} + x_{3} = 0

Schnittpunkt der Ebene mit der Geraden: Gerade einsetzen:

Gerade:

x_{2} = 11 + t, x_{3} = 3 + t

eingesetzt:

(11 + t) + (3 + t) = 0

14 + 2 t = 0

t = - 7

t

g

einsetzen ergibt Punkt

L (0 | 4 | - 4)

P

liegt auf x_1-Achse,

L

auf der Geraden (und der Ebene)
Abstand Punkt

P

zu Punkt

L

soll 9 sein (rechte Seite im Quadrat, damit keine Wurzel auf der linken Seite):

\sqrt{{(x_{1}_P - x_{1}_L)}^{2} + {(x_{2}_P - x_{2}_L)}^{2} + {(x_{3}_P - x_{3}_L)}^{2}} = 9

{(s - 0)}^{2} + {(0 - 4)}^{2} + {(0 + 4)}^{2} = 81

s^{2} + 16 + 16 = 81

s^{2} = 49

und somit

s = \pm 7

die beiden Punkte mit dem Abstand

9 : P_{1} (7 | 0 | 0), P_{2} (- 7 | 0 | 0)

b)

minimaler Abstand

s^{2} + 32 = d^{2}

(Gleichung von oben, aber jetzt Abstand

d)

minimal, wenn

s = 0

somit hat der Punkt

O (0 | 0 | 0)

den geringsten Abstand zur Geraden

O

liegt genau in der Mitte von

P_{1}

und

P_{2}

Maike1991 aktiv_icon

16:41 Uhr, 07.03.2010

Hey sorry, hatte ne wichtige Probe.
Also bis zu dem Punkt

L

hab ich alles verstanden.
Aber was hast du danach für ne Gleichung aufgestellt?
lg Maike1991

michael777 aktiv_icon

17:17 Uhr, 07.03.2010

meinst du die Gleichung mit

= 81

? oder welche?

ich habe den Lösungsweg oben etwas ergänzt

Maike1991 aktiv_icon

17:29 Uhr, 07.03.2010

irgendwie verstehe ich nicht, wo du da was eingesetzt hast...
sorry...^^

michael777 aktiv_icon

17:31 Uhr, 07.03.2010

wo genau verstehst was nicht?

hast das mit der Hilfsebene und dem Lotfußpunkt

L

verstanden?

wenn man

L

hat, dann kann man den Abstand |LP| ausrechnen
die Länge soll 9 sein

Maike1991 aktiv_icon

17:35 Uhr, 07.03.2010

ja, stimmt...aber da kommt dann was komisches...die wurzel aus x1²+32

wie kann ich denn da weiterrechnen?

michael777 aktiv_icon

17:38 Uhr, 07.03.2010

du setzt doch für

x_{1}

die Koordinaten der Punkte ein, dann taucht

x_{1}

nicht mehr in der Formel auf

Maike1991 aktiv_icon

17:43 Uhr, 07.03.2010

Hä?...sorry, aber irgendwie versteh ich grad nur Bahnhof...
also ich habe

L

ausgerechnet mit

L (\frac{0}{4} / - 4)

jetzt muss ich einen oder mehrere Punkte finden, die den Abstand 9 von der Geraden haben...wofür ist

L

denn jetzt da?
das ist doch der Lotfußpunkt...und wofür brauch ich den hier?
ich suche ja eigentlich

x 1,

oder?

michael777 aktiv_icon

17:46 Uhr, 07.03.2010

genau

die Punkte mit Abstand 9 zu

L

(das entspricht dem Abstand zur Geraden) sollen auf der x1-Achse liegen

deshalb hab ich

(s | 0 | 0)

eingesetzt und dann

s

ausgerechnet
damit hat man dann die Punkte auf der x_1-Achse mit dem gesuchten Abstand

Maike1991 aktiv_icon

17:48 Uhr, 07.03.2010

ah...
und wo hast du

(\frac{s}{0} / 0)

eingesetzt?
in die Gerade?oder ind ie Hilfsebene?

michael777 aktiv_icon

17:51 Uhr, 07.03.2010

weder noch
ich habe den Abstand von

(s | 0 | 0)

L

mit der Abstandsformel berechnet
der Abstand soll ja 9 sein

Maike1991 aktiv_icon

17:55 Uhr, 07.03.2010

sorry, aber ich versteh das immernoch nich...
die abstandsformel ist doch d=/(vektor r-vektor p)*Normaleneinheitsvektor/

L

kann ich ja dann für vekto

p

einsetzen und den normaleneinheitsvektor von der hilfsebene...und für

r

setz ich dann

(\frac{s}{0} / 0)

ein oder wie?

michael777 aktiv_icon

17:58 Uhr, 07.03.2010

das ist nicht die Abstandsformel zweier Punkte

Abstand von

P (x_{p}, y_{p}, z_{p})

und

Q (x_{q}, y_{q}, z_{q})

ist

d = \sqrt{{(x_{q} - x_{p})}^{2} + {(y_{q} - y_{p})}^{2} + {(z_{q} - z_{p})}^{2}}

Maike1991 aktiv_icon

17:59 Uhr, 07.03.2010

die hatten wir nich...
kann man das auch anders rechnen?

Maike1991 aktiv_icon

17:59 Uhr, 07.03.2010

die hatten wir nich...
kann man das auch anders rechnen?

Maike1991 aktiv_icon

17:59 Uhr, 07.03.2010

die hatten wir nich...
kann man das auch anders rechnen?

oder soll die 2 zum quadrat sein?...sieht irgendwie komisch aus

einfach vom verbindungsvektor den betrag ausrechnen?

michael777 aktiv_icon

18:00 Uhr, 07.03.2010

ich weiß im Moment nicht wie

der kürzeste Abstand der beiden Geraden kann man mit der Abstandsformel für windschiefe Geraden ausrechnen

die Abstandsformel ist die Anwendung des Satz des Pythagoras, im x-y-Koordinatensystem habt ihr die Formel sicher schon gehabt, vielleicht nur nicht im Raum mit 3 Koordinaten

michael777 aktiv_icon

18:03 Uhr, 07.03.2010

oder soll die 2 zum quadrat sein?
ja
wenn es bei dir nicht richtig angezeigt wird, hast vielleicht das Plugin für den Browser nicht installiert.

einfach vom verbindungsvektor den betrag ausrechnen?
richtig!

Maike1991 aktiv_icon

18:05 Uhr, 07.03.2010

ich glaub ich weiß jetzt was du meinst...
das hab ich aber von anfang an gemacht und da kommt ich nich weiter...
mit dem verbindungsvektor den betrag...?
da kann ich

s

aber nicht wegkürzen oda so...

michael777 aktiv_icon

18:06 Uhr, 07.03.2010

s

bleibt als einzige Unbekannte drin, dann bekommst eine Gleichung mit

s

. Daraus kannst dann

s

berechnen. (siehe oben)

Maike1991 aktiv_icon

18:07 Uhr, 07.03.2010

also bei mir steht da die wurzel aus s²+32=9
dann quadrieren und dann kommt

s = 7

bzw.

s = - 7

raus...
ist das richtig?

michael777 aktiv_icon

18:11 Uhr, 07.03.2010

richtig!

übrigens Wurzel kann man hier mit SQRT (aber klein)

\sqrt{}

schreiben

Maike1991 aktiv_icon

18:13 Uhr, 07.03.2010

Vielen vielen Dank...
das hat mir total geholfen...

Muss ich jetzt nur noch auf andere Aufgaben übertragen, aber sonst kann die Arbeit ja kommen...

Danke auch für die Wuzelhilfe...
lg Maike1991

michael777 aktiv_icon

18:14 Uhr, 07.03.2010

na dann viel Erfolg bei der Arbeit

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