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Annäherung/Schnitt schieder Asymptote

Schüler Gymnasium, 13. Klassenstufe

Tags: Asymptote, Schnitt

siser aktiv_icon

16:02 Uhr, 25.08.2009

Ich hab folgende Gleichung

\frac{x^{3} + 5 \cdot x + 6}{x^{2}}

. Wieseo schneidet der Graph die Asymptote (nach PolyDiv.

x + \frac{5 \cdot x + 6}{x^{2}}

also schiefe asymptote

y = x)

im Punkt

(- 1.2 | - 1.2)

? Wie erkenne ich das das sie sich nicht von oben nach -unendlich annähert sondern von unten den -unendlich annähert wobei die Nullstelle bei

- 1

ist? Bei der senktechten Asymptote erkenne ich die gleichsinnige Annäherung ja an der Doppelten Nullstelle im Nenner

http://www.wolframalpha.com/input/?i=%286+%2B+5+x+%2B+x^3%29%2Fx^2

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich benötige bitte nur das Ergebnis und keinen längeren Lösungsweg."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Asymptote (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Lagebeziehung Ebene - Ebene
Lagebeziehung Gerade - Ebene (in Normalenform)
Lagebeziehung Gerade - Ebene (in Parameterform)
Lagebeziehung Gerade - Gerade

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

lepton

17:21 Uhr, 25.08.2009

Also, ich kann dir irgendwie nicht ganz folgen..ich meine, warum sollte den der Graph die Asymptote überhaupt schneiden? Definition(Asymptote): Die Polynomfkt. A heisst Asymptote der rationalen Fkt.

f

für Betrag von

x \to \infty,

wenn gilt:

lim_{x \to \infty} [f (x) - A (x)] = 0,

mit

x

unter

lim

meine ich den Betrag von

x .

Allgemein gilt bei gebrochen-rationalen Fkt.:
mit

f (x) = \frac{Z (x)}{N (x)}

Z (x) < N (x) \Rightarrow A (x) = 0

2 . Z (x) = N (x) \Rightarrow A (x) = C

(Parallele zur Abszisse)
3.

Z (x) = N (x) + 2 \Rightarrow A (x) = x^{2}

(Parabel zweiten Grades)
Die Fkt.

f

kann doch nicht die

A (x)

schneiden, er nähert sich nur sehr nah an die

A (x)

aber ohne sie zu tangieren geschweige denn zu schneiden!!
Du hast hier eine gebrochen-rationale Fkt. vorzuliegen deren Polstelle bei

x_{P} = 0

ohne VZW, die - verursacht vom Restterm als lokale Störung bei

x = 0

imponiert, eine Asymptote

A (x) = x

und eine einzige NS bei

x_{N} = - 1

liegt.
Da die Polstellen immer vertikal liegen, kann man daraus schlussfolgern, je nach dem mit VZW oder ohne VZW, dass die Fkt.

f

aus dem

\infty

ins

- \infty

derAsymptote entlang verläuft oder aus dem

\infty

wieder ins

\infty

verschwinden oder umgekehrt.

lepton

17:23 Uhr, 25.08.2009

Führe doch mal eine übliche Kurvendiskussion mit

f

durch und dann wirst du einiges feststellen!!

Gruß
lepton

siser aktiv_icon

18:52 Uhr, 25.08.2009

Die normale Funktionsuntersuchung hab ich ja gemacht. Hab Asymptoten bestimmt, TP, WP krit. stelle etc. nur das die schiefe asymptote von der funktion geschnitten wird bzw andersrum leutet mir nicht ein wieso das so ist. Bis jetzt waren bei allen beispielen mit asymptotengrad 1 die annäherung an die asymptote und kein schnitt dabei.

Es geht hierbei ja um die schiefe asymptote die bei asymp. grad

= 1

ja vorliegt. und diese wird vom Graphen geschnitten und nähert sich dann dieser erst an. und diese Schnittpunkt ist bei

P (- 1.2 | - 1.2)

von dem Pol mit der senkrechten asymptote rede ich ja nicht.

Bei dem Bild sieht man ja das die Gerade

y = x

also die schiefe Asymptote geschnitten wird und sich der Graph dann von "unten" der schiefen Asymptote annähert. aber wieso macht der Graph das und nähert sich nciht logischer von "oben" der Gerade, so war das bis jetzt immer bei den Fällen die wir bis jetzt hatten

BjBot aktiv_icon

19:10 Uhr, 25.08.2009

Puh du machst es ja sehr ausführlich, es war ja eigentlich nach deinem ersten Beutrag schon klar was du meinst, wenn man ihn halt richtig liest.

Also die Sache ist halt so, dass nirgendwo steht, dass Asymptoten zwischendurch nicht auch mal den Graphen schneiden dürfen. SOLANGE der Graph sich letztendlich im Unendlichen an diese Asymptote anschmiegt ist alles palletti ;-)

siser aktiv_icon

19:30 Uhr, 25.08.2009

ja meine frage bezog sich aber darafu wie ich das herausfinde, wenn ich nicht gerade zig Funktionswerte bestimmen möchte

BjBot aktiv_icon

19:36 Uhr, 25.08.2009

Gegenfrage: Was bringt dir das ?

Das ergibt sich halt je nach Funktionsterm, ein allgemeines Rezept gibt es da meines Wissens nicht.

siser aktiv_icon

19:44 Uhr, 25.08.2009

ich hatte ohen die Überprüfung des Cas den graphen anders gezeichnet, da ich davon ausging das er sich der Asymptote direkt annähert. Heißt ich hatte 3 Funktionsteile

BjBot aktiv_icon

19:51 Uhr, 25.08.2009

Achso...naja das von Hand zu erkennen ohne Hilfsmittel wie ein CAS halte ich für schwierig und wird auch sicher keiner verlangen...

lepton

21:30 Uhr, 25.08.2009

Bist du dir eigentlich sicher, dass die Graphen richtig eingezeichnet sind. Denn wie man anhand der Ableitungen leicht sehen kann, besitzt

f

keine Extrema, keinen Schnittpkt. mit der Ordinatenachse und keine WP.
Wenn ich die Fkt. einzeichne, dann schneidet

f

die Asymptote überhaupt nicht.
Die Daten nochmals zusammengefasst:

NS

\Rightarrow x_{N} = - 1

Polstelle

\Rightarrow x_{P} = 0,

ohne VZW!

Definitionsbereich

\Rightarrow D_{f =} ℝ

{

0}

Asymptote

\Rightarrow A (x) = x

Extrema

\Rightarrow

keine Extrema, da

Z (x)

nie Null werden kann!

WP

\Rightarrow

keine WP, da

Z (x)

nie Null werden kann!

Verhalten im Unendlichen

\Rightarrow lim_{x \to \infty} f (x) = lim_{x \to \infty} x + \frac{5}{x} + \frac{6}{x^{2}} = A (x) = x

(natürlich ist hier der Betrag von

x

ist gemeint)

lepton

22:05 Uhr, 25.08.2009

Andererseits kann ich aber auch allgemein sagen, dass praktisch Fkt.

f

an der Stelle

x_{0}

die Asymptote schneiden kann. Asymptoten beschreiben im Allgemeinen das Verhalten der Fkt. für sehr große und sehr kleine x-Werte im Unendlichen, wenn aber jetzt die Stelle

x_{0}

sehr weit weg vom Unendlichen ist, kann es manchmal unter Umständen schon mal vorkommen, dass

A (x)

geschnitten wird.

siser aktiv_icon

22:57 Uhr, 25.08.2009

Also Ableitung ist doch

f' (x) = \frac{3 \cdot x^{2} + 5}{x^{2}} - \frac{(x^{3} + 5 \cdot x + 6) \cdot 2}{x^{3}}

und die ist Null bei

x = 3

.

und

f'' (3) = \frac{22}{27}

sodass dort ein Tp da

> 0

vorliegt bei

(3 | \frac{16}{3})

WP ist bei

f'' (x) = 0

also bei

x = - \frac{18}{5}

. y-Wert ist

- \frac{611}{135}

.
krit. Stellen hats ja nur bei 0,da

x^{2} = 0

also doppelt = Pol ohne VZW.

lepton

23:12 Uhr, 25.08.2009

Nein, wie kommst du denn überhaupt auf diese Ableitung?
Da im Nenner

x^{2}

alleine vorkommt, können wir doch die Brüche auseinanderziehen

\Rightarrow f (x) = \frac{x^{3} + 5 x + 6}{x^{2}} = x + \frac{5}{x} + \frac{6}{x^{2}}

durch das Auseinanderziehen der Brüche können wir auf Quotientenregel verzichten und wenden ganz trivial die Summenregel an

\Rightarrow f' (x) = 1 - \frac{5}{x^{2}} - \frac{12}{x^{3}}

f'' (x) = \frac{10}{x^{3}} + \frac{36}{x^{4}}

Wie man sehen kann sind bei beiden Ableitungen die Zählerterme Konstanten

\Rightarrow f

hat weder Extrema noch WP!

Es geht hier um die Zählerterme, denn du darfst ja den Nenner nicht Null setzen!!

lepton

00:03 Uhr, 26.08.2009

Sorry, kleines Malheur von mir..natürlich hast du Extrema und WP, da wir in

f' \land f''

Summen haben. Und deine ermittelten Werte für den TP und WP ist richtig. Der WP sorgt dafür, dass hier in diesem Fall der Graph die Asymptote schneiden muss - hier liegt wieder mal ein Sonderfall vor - da die Schnittstelle

- 1.2

sehr weit weg vom Unendlichen ist, ist es durchaus möglich, dass die Asymptote an dieser Stelle geschnitten wird.

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