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Anwendung der Differentialrechnung

Schüler

Tags: Differentialrechnung, Extremalprobleme lösen, Flächeninhalt, Maximal, Rechteck, Umfang maximal

 
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Cordula

Cordula aktiv_icon

18:12 Uhr, 10.02.2012

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Hallo,

wir haben seit kurzem Extremprobleme und es ist meistens so, dass ich nicht weiß womit ich anfangen soll. Kann mir jemand Tipps geben und bei der Lösung helfen?

Hier die Aufgabe:

Der Graph von f(x)=1/x, x>0, und die Geraden y=2 sowie x=4 schließen ein Gebiet ein, in das ein achsenparalleles Rechteck gelegt werden soll.

a) Welche Maße hat das Rechteck, wenn sein Flächeninhalt maximal sein soll?

b) Welche Maße hat das Rechteck, wenn sein Umfang maximal sein soll?


Danke für eure Lösungsversuche schon mal im Voraus!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:
 
Online-Nachhilfe in Mathematik
Antwort
Eva88

Eva88 aktiv_icon

18:46 Uhr, 10.02.2012

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1) Formel für den Flächeninhalt des Rechtecks aufstellen
2) Nebenbedingung in Formel einsetzen
3) Ableiten und 0 setzen
4) auflösen


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sm1kb

sm1kb aktiv_icon

19:29 Uhr, 10.02.2012

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Hallo Cordula,
a)
entsprechend dem Bild ist die Fläche A=a⋅b . Der Punkt B hat die Koordinaten x,y .
a=4-x ; b=2-y ; y=f(x)
A=(4-x)⋅(2-y)=(4-x)⋅(2-1/x)=9-2x-4/x
dA/dx=-2+4/x2=0 ; x=±2 ; nur der positive Wert zählt
a=4-2=2,5858
b=2-1/2=1,2929

b)
entsprechend dem Bild ist der Umfang U=2⋅(a+b) , also
U=2⋅(6-x-1/x)
dU/dx=2⋅(-1+1/x2)=0 ; x=±1 ; nur der positive Wert zählt
a=4-1=3
b=2-1=1
MfG von sm1kb

bild
Frage beantwortet
Cordula

Cordula aktiv_icon

21:15 Uhr, 10.02.2012

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Wunderbar, ihr gierigen Typen. Jetzt ist alles klar! Hab alles verstanden. :-)