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Anwendungsaufgabe zur Analytischen Geometrie

Schüler Gymnasiale Oberstufe,

Tags: Analytische Geometrie, Ebene, Flugbahn, Gerade

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08:01 Uhr, 25.01.2012

Hallo!
Ich habe eine Aufgabe, mit der ich einfach nicht zurecht komme.
Und zwar geht es um zwei Flugbahnen, die durch die geraden

g : x = (- 10; 4; 2) + r (3; 0; - 2)

und

h : x = (2,5; 0; 4) + s (0; 1; 2)

dargestellt sind. Dazu ist die Ebene

E : x = (- 0,5; 12; 6) + j (3; 4; 0) + k (0; 0; 1)

gegeben.
Nun soll man:

a)

Den schnittpunkt der Geraden

g

mit der x-y-Ebene bestimmen und dann den Abstand zum Ursprung
b)Die Lage der Ebene

E

im Koordinatensystem beschreiben und eine Gleichung der Schnittgeraden von Ebene

E

und x-y-Ebene bestimmen.

c)

Beschreiben, ob bei den Flugbahnen eines Flugzeugs (Gerade

g)

und eines Helikopters (Gerade

h)

Kollisionsgefahr besteht

d)

den Abstand des Punktes

(- 13 | 4 | 4)

zur Geraden

h

bestimmen

(\in

Form einer Formel, wie ich hier sehe)

Wäre ganz super, wenn man mir helfen könnte!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Abstand Punkt Ebene
Ebene Geometrie - Einführung
Ebenen in Normalenform
Ebenen in Parameterform
Geraden im Raum
Grundbegriffe der ebenen Geometrie
Lagebeziehung Ebene - Ebene

Abstand Punkt Ebene
Ebene Geometrie - Einführung
Ebenen in Normalenform
Ebenen in Parameterform
Geraden im Raum
Grundbegriffe der ebenen Geometrie

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

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08:16 Uhr, 25.01.2012

Hallo!

Poste mal Deine Ansätze, es bringt ja nichts, wenn man Dir die Aufgabe hier stur vorrechnet.

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08:41 Uhr, 25.01.2012

Also, ich bin ja schon am Schnittpunkt berechnen gescheitert, so wie ich das verstanden habe braucht man die Ebenengleichung in Koordinatenform und das über Kreuz Auflösen habe ich nicht so wirklich verstanden.

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08:50 Uhr, 25.01.2012

Ok, fangen wir mal mit

a)

an:

Versuche mal, Dir das Ganze geometrisch vorzustellen. In der x-y-Ebene gilt doch

z = 0

. Also musst Du schauen, für welches

r

die z-Komponente der Geraden

g

gleich Null wird. Es reicht also, nur deren z-Komponente zu betrachten:

2 - 2 r = 0

Daraus erhältst Du

r,

und wenn Du dies in

g

einsetzt, bekommst Du den Punkt.

Jetzt bist Du dran ;-)

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09:03 Uhr, 25.01.2012

Demnach wäre

r = 1,

richtig? (ich bin ne Mathe-Niete, also bitte um Geduld mir mir)

Muss man dann die Vektoren von

g

zu einem Punkt zusammen fassen? Dann hätte ich nämlich

(13; - 4; 0)

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09:12 Uhr, 25.01.2012

r = 1

ist richtig.

Die Geradengleichung gibt immer am Ende einen Punkt an, der auf der Geraden liegt. Du kannst Dir vorstellen, dass dieser Punkt durch Verändern der Variablen

r

auf der Geraden "entlangfährt".

g : \vec{x} = (\begin{matrix} - 10 \\ 4 \\ 2 \end{matrix}) + r \cdot (\begin{matrix} 3 \\ 0 \\ - 2 \end{matrix})

Jetzt setzt Du

r = 1

ein. Ich nenne den Punkt, in dem

g

die x-y-Ebene durchstößt, mal

A :

\vec{O A} = (\begin{matrix} - 10 \\ 4 \\ 2 \end{matrix}) + 1 \cdot (\begin{matrix} 3 \\ 0 \\ - 2 \end{matrix}) = (\begin{matrix} - 7 \\ 4 \\ 0 \end{matrix})

Damit hast Du die Koordinaten von

A : (- 7 | 4 | 0) (z = 0

war ja die Bedingung!)

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09:21 Uhr, 25.01.2012

Aaah, verstehe!
Jetzt müsste ich den Punkt doch noch in die Ebenengleichung einsetzten, nicht wahr? (Die PArameterform verwirrt mich)

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09:27 Uhr, 25.01.2012

Warum in die Ebenengleichung? Von der Ebene

E

ist doch in dieser Teilaufgabe gar keine Rede. Jetzt soll noch der Abstand vom Ursprung bestimmt werden. Aus Deiner Aufgabenstellung geht allerdings nicht klar hervor, ob der Abstand des Punktes

A,

den wir eben bestimmt haben, gemeint ist, oder der Abstand der Geraden

g

. Steht das nicht genauer in der Aufgabe?

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09:39 Uhr, 25.01.2012

Ahso, bin davon ausgegangen, dass man die Ebenengleichung mit einbeziehen muss.
Ist schon richtig, dass der Abstand zwischen dem bestimmten Punkt zum Ursprung ermittelt werden soll.
Die Formel dazu finde ich in meinen Aufzeichnungen aber nicht wieder.

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09:58 Uhr, 25.01.2012

Nimm den Vektor vom Ursprung zum Punkt A (der ist ja von den Komponenten her genau der Punkt selbst). Dessen Länge

(=

Betrag) ist die Entfernung von A zum Ursprung.

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15:02 Uhr, 25.01.2012

Gut, als Betrag habe ich

8,06

(Längeneinheiten, nehme ich an).

Ich habe vergessen, dass man zu

a)

noch den Schnittwinkel berechnen muss, was ich mal eben gemacht habe.
Als Normalenvektor der Ebene habe ich

n = (4; - 3; 0)

. Dazu den Richtungsvektor

u = (3; 0; - 2)

Habe das in die Sinusformel eingesetzt und als Ergebnis

0,66

bekommen, woraufhin Alpha

0,7208

wäre.
Wäre nett, wenn du mich auf Fehler hinweisen könntest :-)

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15:26 Uhr, 25.01.2012

Der Betrag des Abstands stimmt (wobei Du nicht unbedingt gleich runden solltest). Schreib's lieber so:

| \vec{O A} | = \sqrt{{(- 7)}^{2} + 4^{2}} = \sqrt{65}

\approx 8,06

LE

Den Schnittwinkel sollst Du doch mit der x-y-Ebene bestimmen, nicht mit der Ebene

E,

oder?

Der Normalenvektor der x-y-Ebene ist

(\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix})

. Also gilt:

sin α = \frac{| (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 3 \\ 0 \\ - 2 \end{matrix}) |}{1 \cdot \sqrt{13}} = \frac{2}{\sqrt{13}}

\to α \approx

33,7°

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15:54 Uhr, 25.01.2012

Oh, ein Denkfehler meinerseits, danke sehr!

Dann zur Lage der Ebene

E

im Koordinatensystem, wie bestimmt man

z . B

Parallelität?

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16:00 Uhr, 25.01.2012

Wenn Du die Ebene in Parameterform anschaust, siehst Du, dass

(\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix})

einer der Richtungsvektoren ist. Außerdem hast Du vorhin schon ihren Normalenvektor richtig hingeschrieben:

(\begin{matrix} 4 \\ - 3 \\ 0 \end{matrix})

. Seine z-Komponente ist also 0.

Stell Dir den Vektor

(\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix})

vor: das ist der Richtungsvektor der z-Achse. Die Ebene

E

verläuft somit parallel zur z-Achse, steht also senkrecht auf der x-y-Ebene. Dieselbe Aussage bekommst Du aus ihrem Normalenvektor: dessen z-Komponente ist

0,

also ist die Ebene parallel zur z-Achse.

Jetzt bist Du dran mit der Schnittgeraden.

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16:20 Uhr, 25.01.2012

Ok, für die Schnittgerade habe ich die z-Komponente der x-y-Ebene nach

k

aufgelöst, also

k = - 6

Demnach wäre die Schnittgeradengleichung:

(- 0,5; 12; 6) + j (3; 4; 0) - 6 (0; 0; 1)

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16:39 Uhr, 25.01.2012

Das haut so nicht hin! Du musst ja die Menge aller Punkte finden, die sowohl in

E

als auch in der x-y-Ebene (also in der Ebene

z = 0)

sind. Das ist die Definition der Schnittgeraden.

Konkret:

Zunächst stellst Du am besten

E

in Koordinatenform dar. Den Normalenvektor hast Du oben schon bestimmt.

Ansatz:

4 x - 3 y + 0 z - d = 0

d

bestimmen wir durch Einsetzen eines Punktes von

E

(der ja die Gleichung erfüllen muss!). Nehmen wir den Aufpunkt

(- 0,5 | 12 | 6) :

4 \cdot (- 0,5) - 3 \cdot 12 = d \to d = - 38

Damit ist

E : 4 x - 3 y + 38 = 0

Jetzt brauchst Du die Schnittgerade dieser Ebene mit der Ebene

z = 0

(die sogenannte Spurgerade). Du kannst Dir vorstellen, dass

E

die x-Achse im Punkt

B

und die y-Achse in

C

schneidet.

Auf der x-Achse gilt

y = z = 0

. Dies in

E

eingesetzt, ergibt:

4 x - 0 + 38 = 0 \to x = - \frac{38}{4} = - \frac{19}{2}

Also ist

B (- \frac{19}{2} | 0 | 0)

Auf der y-Achse gilt:

x = z = 0

0 - 3 y + 38 = 0 \to y = \frac{38}{3}

bzw.

C (0 | \frac{38}{3} | 0)

Die gesuchte Schnittgerade ist jetzt die Gerade durch

B

und

C :

\vec{B C} = (\begin{matrix} 0 \\ \frac{38}{3} \\ 0 \end{matrix}) - (\begin{matrix} - \frac{19}{2} \\ 0 \\ 0 \end{matrix}) = (\begin{matrix} \frac{19}{2} \\ \frac{38}{3} \\ 0 \end{matrix})

Damit ist die Schnittgerade:

s : \vec{x} = (\begin{matrix} - \frac{19}{2} \\ 0 \\ 0 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} \frac{19}{2} \\ \frac{38}{3} \\ 0 \end{matrix})

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17:20 Uhr, 25.01.2012

Ich bin wirklich keine Leuchte, habe das mit der Schnittgeraden falsch verstanden.
Danke jedenfalls!

zu

c)

habe ich noch eine Frage:
Da sollte man doch am besten bestimmen, ob sich die beiden Geraden schneiden, richtig?
Reicht es, die beiden richtungsvektoren der Geraden gleichzusetzen?

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07:45 Uhr, 26.01.2012

Genau, Du musst prüfen, ob sich die beiden Geraden schneiden. Dazu musst Du beide Geradengleichungen gleichsetzen. Es reicht nicht, nur die Richtungsvektoren zu betrachten. Du kannst Dir vorstellen, dass ein Richtungsvektor an unendlich vielen Punkten "aufgehängt" werden kann. Erst durch den Aufpunkt (Ortsvektor) wird eine eindeutige Gerade daraus.

Durch das Gleichsetzen bekommst Du drei Gleichungen für die Variablen

r

und

s

. Wenn alle drei Gleichungen erfüllt sind, schneiden sich die beiden Geraden. Ergibt sich ein Widerspruch, schneiden sie sich nicht, und es besteht keine Kollisionsgefahr.

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11:15 Uhr, 26.01.2012

Da ich nachher weg muss, zeige ich Dir den Rest noch:

Schnitt der beiden Geraden:

(\begin{matrix} - 10 \\ 4 \\ 2 \end{matrix}) + r \cdot (\begin{matrix} 3 \\ 0 \\ - 2 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 2,5 \\ 0 \\ 4 \end{matrix}) + s \cdot (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 2 \end{matrix})

Komponentenweise:

- 10 + 3 r = 2,5 + 0 s

4 + 0 r = 0 + 1 s

2 - 2 r = 4 + 2 s

3 r = 12,5

- s = - 4

- 2 r - 2 s = 2

aus

(1) : r = \frac{25}{6}

aus

(2) : s = 4

(3)

eingesetzt:

- 2 r - 2 s = - \frac{25}{3} - 8 = - \frac{25}{3} - \frac{24}{3} = - \frac{49}{3} \neq 2

Es ergibt sich ein Widerspruch,

d . h

. die Geraden schneiden sich nicht!

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11:26 Uhr, 26.01.2012

d)

Abstand Punkt

P

zur Geraden

h :

Du nimmst auf

h

einen allgemeinen Punkt

F

und lässt ihn in Gedanken darauf entlangwandern, bis der Vektor

\vec{P F}

senkrecht auf

h

steht. Dann ist die Länge von

\vec{P F}

genau der Abstand von

P

h :

Punkt

F \in h

(das ist einfach die Geradengleichung):

\vec{O F} = (\begin{matrix} 2,5 \\ 0 \\ 4 \end{matrix}) + s (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 2 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 2,5 \\ s \\ 4 + 2 s \end{matrix})

\vec{P F} = (\begin{matrix} 2,5 \\ s \\ 4 + 2 s \end{matrix}) - (\begin{matrix} - 13 \\ 4 \\ 4 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 15,5 \\ - 4 + s \\ 2 s \end{matrix})

\vec{P F}

soll nun senkrecht auf

h

stehen, also muss das Skalarprodukt zwischen

\vec{P F}

und dem Richtungsvektor von

h

Null ergeben:

\vec{P F} \cdot \vec{r_{h}} = (\begin{matrix} 15,5 \\ - 4 + s \\ 2 s \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 2 \end{matrix}) = 0 - 4 + s + 4 s = - 4 + 5 s

- 4 + 5 s = 0 \to s = \frac{4}{5} = 0,8

Dies in

\vec{P F}

oben eingesetzt:

\vec{P F} = (\begin{matrix} 15,5 \\ - 3,2 \\ 1,6 \end{matrix})

Damit ergibt sich der Abstand:

d = | \vec{P F} | = \sqrt{{15,5}^{2} + {3,2}^{2} + {1,6}^{2}} = \sqrt{253,05} \approx 15,91

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