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Arithmetik Kreiszahl, Restklassen , Quersumme

Schüler Gesamtschule, 12. Klassenstufe

Tags: Arithmetik, Kreiszahl, Quersumme, restklassen

 
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cath12

cath12 aktiv_icon

17:29 Uhr, 30.10.2012

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Hallo,

ich stehe wieder einmal vor einem bzw. drei neuen problemen.wir haben heute zu fünft versucht, die folgenden aufgaben zu lösen, leider erfolglos:

Aufgabe 1: Es sei π (Pi)die Kreiszahl. Beweisen Sie, dass durch
a~ b es existiert eine ganze Zahl z mit a= bπhochz
auf der Menge R der reellen Zahlen eine Äquivalenzrelation erklärt wird. Die
Menge der ganzen Zahlen bezeichnen wir mit Z und die Menge der rationalen
Zahlen mit Q.
Es sei R|~= {[a]|a in R}die Menge der zugehörigen Äquivalenzklassen.
Man berechne:
[1] und [n]Z für jede ganze Zahl n sowie [r]Q für jede rationale Zahl r.

Aufgabe 2: Es sei m eine natürliche Zahl. Mit Z bezeichnen wir die Menge
der ganzen Zahlen. Ferner bezeichnen wir mit Z|mZ die Menge der Restk-
lassen modulo m und mit [a]m die Restklasse modulo m, die die ganze Zahl
a als Element enthält.
Beweisen Sie, dass durch
f([a]m)= ggT(a,m)
eine Abbildung f:Z|mZ |-> Z erklärt wird. Ist diese Abbildung injektiv?
Ist diese Abbildung surjektiv?

Aufgabe 3: Wir bezeichnen mit Q(n) die Quersumme einer natürlichen
Zahl n im dekadischen Stellenwertsystem.
Man überprüfe, ob die folgenden Rechenregeln fur alle natürlichen Zahlen
a;b gelten:
Q(a+b)=Q(a)+Q(b)
[Q(a+b)]9=[Q(a)]9+[Q(b)]9
Q(ab) =Q(a)Q(b)
[Q(ab)]9 =[Q(a)]9 [Q(b)]9

Die 9 ist jeweils tiefgestellt! Über Hilfe würde ich mich wirklich sehr freuen :-)
Hierzu passend bei OnlineMathe:
Kreiszahl (Mathematischer Grundbegriff)
Online-Nachhilfe in Mathematik
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anonymous

anonymous

20:02 Uhr, 01.11.2012

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zu 1.

a)reflexsiv:
a=aπ0aa

b) symmetrisch:
abesgibteinzZmita=bπz
dann ist b=aπ-zmit-zZ,d.h.ba

c)transitiv:
abbcesgibtz1,z2Zmit
a=bπz1b=cπz2
dann ist
a=bπz1=(cπz2)πz1=cπz2+z1=cπz3mitz3:=z1+z2Zac
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anonymous

anonymous

20:28 Uhr, 01.11.2012

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nur noch kurz (ich gehe einen Film anschauen):
[1]={xxRx1}={xxRx=1πzfürzZ}={1,π,π2,π3,...,1π,(1π)2,(1π)3,...}
usw.
Antwort
anonymous

anonymous

00:28 Uhr, 02.11.2012

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Aufg. 2:
Zunächst macht man sich an Beispielen klar, um was es geht.
mN
ZmZ,z.B.Z2Z={0,1}Z3Z={0,1,2}usw.
[a]maZ,mN
Bsp: [5]3=2Z3Z,[12]3=0Z3Z

f:Z3ZZ,[a]mggT(a,m)
Bsp: m=3
f:Z3ZZ

[5]3=2ggT(5,3)=1
1ggT(3k+1,3)=1
0ggT(3k,3)=3(kZ)

dieses Beispiel zeigt schon, dass f nicht injektiv und auch nicht surjektiv ist

[1]mggT(1,m)=1
[m-1]mggT(m-1,m)=1
wie gesagt: f nicht injektiv

f nicht surjektiv: wegen ggT(a,m)min{a,m}
hat zZz>max{a,m}keinUrbild
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Lali88

Lali88 aktiv_icon

21:36 Uhr, 02.11.2012

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Heyhey,
habe das selbe Problem wie Sarah89. Danke schon einmal für die guten Lösungen :-) Alleine wäre ich da leider nie drauf gekommen....Hat jemand vielleicht noch einen Ansatz zur Aufgabe 3?

Aufgabe 3: Wir bezeichnen mit Q(n) die Quersumme einer natürlichen
Zahl n im dekadischen Stellenwertsystem.
Man überprüfe, ob die folgenden Rechenregeln fur alle natürlichen Zahlen
a;b gelten:
Q(a+b)=Q(a)+Q(b)
[Q(a+b)]9=[Q(a)]9+[Q(b)]9
Q(ab) =Q(a)Q(b)
[Q(ab)]9 =[Q(a)]9[Q(b)]9

Liebe Grüße
cath12

cath12 aktiv_icon

14:13 Uhr, 03.11.2012

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Viiieeeelen lieben Dank für die TOLLE Hilfe! Da werde ich mich jetzt erst einmal hintersetzen!

Aufgabe 1 habe ich jetzt verstanden. Könntest du vielleicht erklären, wie du bei der 2ten Aufgabe vorgegangen bist?
Antwort
anonymous

anonymous

15:30 Uhr, 03.11.2012

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zum Tippen zu viel:

http//www.upl.co/uploads/Restklassen1.gif
http//www.upl.co/uploads/Restklassen2.gif

Gruß i
Frage beantwortet
cath12

cath12 aktiv_icon

16:18 Uhr, 03.11.2012

Antworten
Wow, spitzenklasse :-)