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Asymptote bestimmen mit e Funktion

Schüler Berufskolleg, 13. Klassenstufe

Tags: Asymptote, Funktion, schief, senkrecht

mrtayfun007 aktiv_icon

12:09 Uhr, 21.04.2013

Gegeben ist die Funktion

f (x) = (x^{2} - 3 x + 2) e^{x}

Ich soll jetzt die Asymptoten bestimmen.

also ich sehe anhand der Zeichnung das es eine waagrechte Asymptote hat mit

y = 0,

da lim(f(x),x,∞) gegen 0 wandert ??? ( Wie müsste man es richtig scheiben ?)

und eine senktrechte Asymptote ?

Bitte um eure schnelle Hife

LG

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michael777 aktiv_icon

13:06 Uhr, 21.04.2013

eine senkrechte Asymptote gibts nicht

lim_{x \to - \infty} f (x) = 0,

wegen

lim_{x \to - \infty} e^{x} = 0

negative x-Achse ist Asymptote

mrtayfun007 aktiv_icon

13:09 Uhr, 21.04.2013

Also nur eine waagrechte Asymptote mit

y = 0

da lim(f(x),x,-∞)-> 0

michael777 aktiv_icon

13:10 Uhr, 21.04.2013

richtig

mrtayfun007 aktiv_icon

13:13 Uhr, 21.04.2013

Ok Danke,

jetzt gibt es noch eine

b

Aufgabe bei der ich eines nicht verstehe. Die Frage lautet:
Betrachtet werden alle Dreiecke mit den Eckpunkten

O (0; 0), P (0; 2)

und

Q (u; f (u))

mit

u < 0,

in deren Innerem kein Punkt von

K

liegt (Das Schaubild von

f (x)

ist K).Bestimmen Sie

u

so, dass das zugehörige Dreieck OPQ das Flächengrößte unter diesen Dreiecken ist.

Meine Frage ist, wa smeinen die damit das im Inneren kein Punkt von

K

liegen soll ???

michael777 aktiv_icon

13:21 Uhr, 21.04.2013

die Gerade

Q (u | f (u)) P (0 | 2)

darf das Schaubild in keinem Punkt schneiden
das Schaubild

K

darf also nicht teilweise unterhalb dieser Geraden verlaufen

der Punkt

Q

muss also rechts vom Wendepunkt (dessen x-Wert

< 0

ist) liegen
also x_WP

< u < 0

mrtayfun007 aktiv_icon

13:29 Uhr, 21.04.2013

Kann ich ganz normal so rechnen:

A = G \cdot H \cdot (\frac{1}{2}) < \to x \cdot 2 \cdot (\frac{1}{2})

dann

A' (x) = 0

???

michael777 aktiv_icon

13:32 Uhr, 21.04.2013

A (u) = \frac{1}{2} \cdot G \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot | u | \to max

Betrag von

u

deshalb, weil

u

negativ ist
alternativ kann man auch mit

- u

rechnen:

A (u) = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot (- u)

A (u) > 0

für

u < 0

u

ist hier dann wohl ein Randextremwert, den man mit

A' (u)

nicht berechnen kann

u

ist also der x-Wert vom (linken) Wendepunkt, weil größer

(u

also weiter links) kann nicht sein, weil dann Punkte von

K

innerhalb des Dreiecks liegen, für kleinere u-Werte ist die Fläche kleiner

mrtayfun007 aktiv_icon

13:35 Uhr, 21.04.2013

also ist

u

automatisch der

x

wert des Wendepunktes von

f (x)

michael777 aktiv_icon

13:36 Uhr, 21.04.2013

genau,

u =

x-Wert vom linken Wendepunkt von

K,

es gibt ja zwei Wendepunkte, einer mit negativem x-Wert und einer mit positivem x-Wert

nochwas:
da

u

negativ ist, muss man bei der Fläche mit Betrag von

u | u |

bzw.

- u

statt

u

rechnen, da sonst die Fläche negativ wird

mrtayfun007 aktiv_icon

13:38 Uhr, 21.04.2013

x = - 2

für den Wendepunkt somit ist

u = - 2

.

Ich versteh noch nicht ganz wieso zb net der punkt

(- 4, f (- 4) u

sein kann der liegt ja auch nicht außerhalb von

K

sondern genau drauf sowie Punkt

Q

michael777 aktiv_icon

13:40 Uhr, 21.04.2013

verbinde mal die Punkte mit

(- 4 | f (- 4))

und

(0 | 2),

dann wirst sehen, dass diese Verbindung das Schaubild

K

schneidet und einige Punkte von

K

unterhalb der Geraden (und somit im Dreieck) liegen

mrtayfun007 aktiv_icon

13:54 Uhr, 21.04.2013

Gut dann glaube ich das mal :-D)
Man sieht das nämlich nicht so vor dem Monitor, es sieht so aus als würde die Gerade nur bei diesem punkt

(- 4; (f (x))

und

(0; 2)

schneiden.

Vielen Dank nochmals

michael777 aktiv_icon

13:55 Uhr, 21.04.2013

stimmt, man sieht es fast nicht, man kann aber die Geradengleichung aufstellen und den anderen Schnittpunkt berechnen

nimm halt einfach den Punkt mit

x = - 6,

dann siehst es deutlich

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