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Bestimmen sie die Parameter a und b

Schüler Gymnasium, 13. Klassenstufe

Tags: Analysis, e-Funktion, Parameter

Stevinho46 aktiv_icon

18:22 Uhr, 12.04.2010

Hallo Jungs und Mädels :-),

ich habe eine e-Funktion und soll die Parameter a und

b

errechnen. Außerdem habe ich den Hochpunkt

H (2 | 4)

gegeben.

f (x) =

2x*e^ax+b .. ich setze den Punkt

H

ein, um die Parameter dann zu bekommen

\Rightarrow 4 = 4 \cdot e^{2} a + b / - 4

\Rightarrow 0 = e^{2} a + b / ln

\Rightarrow 0 = 2 a + b

aber wenn ich jetzt umstelle würde dann beim einsetzen in die Gleichung

e^{2} a - 2 a

rauskommen, meine Parameter kürzen sich also raus.. Ist mein Ansatz denn komplett falsch?!

Need help!

Gruß

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
e-Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

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e-Funktion

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CKims aktiv_icon

18:28 Uhr, 12.04.2010

hallo,

also der ansatz ist schonmal nicht schlecht. deine umformungen sind aber noch komplett falsch. du hast also

f (x) = 2 x e^{a x} + b

dann setzt du den hochpunkt ein

4 = 4 e^{a 2} + b

bis hier hin hast du erstmal alles richtig gemacht. jedoch hast du nun zwei unbekannte und nur eine gleichung. um beide parameter eindeutig bestimmen zu koennen brauchst du noch eine zweite gleichung. welche eigenschaft muss noch erfuellt sein, damit

H

ueberhaupt ein hochpunkt sein kann?? (tip: ableitung)

Stevinho46 aktiv_icon

18:33 Uhr, 12.04.2010

Na ja..

der Ansatz für die Bestimmung der Extrema ist ja klar..

f' (x) = 0

also soll ich jetzt einfach die ableitung bestimmen dann beide gleichungen gleichsetzen und dann nach einem parameter auflösen?!

CKims aktiv_icon

18:37 Uhr, 12.04.2010

jo,

ableiten und gleichungssystem loesen

Stevinho46 aktiv_icon

18:59 Uhr, 12.04.2010

Ich bin gerade echt am verzweifeln.. Kannst du mir evtl den Lösungsansatz kurz reinschreiben? Bzw, muss ich den Punkt

H

auch bei der Ableitung einsetzen, um die Lösung lösen zu können und wenn ja, wie erkläre ich das? bei

f (x)

ist ja die erklärung, dass ich

H

einsetzen darf, weil er auf der funktion liegt, da

f' (x)

aber die Steigung bestimmt, kann das auch genau so handhaben?!

Gruß

CKims aktiv_icon

19:30 Uhr, 12.04.2010

f (x) = 2 x e^{a x} + b

ableiten mit der produktregel ergibt

f' (x) = 2 e^{a x} + 2 x a e^{a x}

damit

H (2; 4)

ein hochpunkt sein kann, muss die steigung bei

x = 2

null sein.

f' (2) = 2 e^{a 2} + 4 a e^{a 2} = 0

2 e^{a 2}

ausklammern ergibt

2 e^{a 2} (1 + 2 a) = 0

ein produkt wird null wenn einer seiner faktoren null wird.

e

hoch irgendwas wird nie null. aber

(1 + 2 a) = 0

wird null bei

a = - \frac{1}{2}

das koennen wir jetzt in die gleichung, die du schon gefunden hast einsetzen. also hier

4 = 4 e^{a 2} + b

einsetzen ergibt dann

4 = 4 e^{- \frac{1}{2} \cdot 2} + b

4 = 4 e^{- 1} + b

4 = \frac{4}{e} + b

4 - \frac{4}{e} = b

das endergebnis lautet also

f (x) = 2 x e^{- \frac{1}{2} x} + 4 - \frac{4}{e}

Stevinho46 aktiv_icon

19:34 Uhr, 12.04.2010

Das

b

ist aber auch im Exponenten, hast du das mitbedacht? das ist hier teilweise echt komisch :-)

f (x) =

2x*e^(ax+b)

CKims aktiv_icon

03:10 Uhr, 13.04.2010

nein ich dachte das

b

ist unten. dann kommt natuerlich was anderes raus.

f (x) = 2 x e^{a x + b}

f' (x) = 2 e^{a x + b} + 2 x a e^{a x + b}

damit

H (2; 4)

ein hochpunkt sein kann, muss die steigung bei

x = 2

null sein.

f' (2) = 2 e^{a 2 + b} + 4 a e^{a 2 + b} = 0

2 e^{a 2 + b}

ausklammern ergibt

2 e^{a 2 + b} (1 + 2 a) = 0

ein produkt wird null wenn einer seiner faktoren null wird.

e

hoch irgendwas ergibt niemals null. aber

(1 + 2 a) = 0

2 a = - 1

a = - \frac{1}{2}

jetzt den hochpunkt

H (2; 4)

bei

f (x)

einsetzen ergibt

4 = 4 e^{a 2 + b}

hier unser gefundenes a einsetzen

4 = 4 e^{- \frac{1}{2} 2 + b}

4 = 4 e^{- 1 + b}

1 = e^{- 1 + b}

ln (1) = ln (e^{- 1 + b})

0 = - 1 + b

1 = b

eindergebnis ist also

f (x) = 2 x e^{- \frac{1}{2} x + 1}

Stevinho46 aktiv_icon

17:32 Uhr, 13.04.2010

Bedanke mich!!

LG!

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