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Beweis für rechten Winkel

Universität / Fachhochschule

Tags: Ähnlich, Dreieck, kongruent, Rechtwinklig

cerberus08 aktiv_icon

17:39 Uhr, 28.09.2011

Ein Dreieck ABC wird durch einen geraden Schnitt in in 2 Teildreiecke zerlegt die ähnlich aber nicht kongruent sind!

Gezeigt werden soll, dass ABC rechtwinklig ist!

Jemand ne Idee, mir fällt da nichts zu ein :-)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Flächeninhalt und Umfang eines Dreiecks
Flächeninhalte
Winkelsumme

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

michaL aktiv_icon

17:44 Uhr, 28.09.2011

Hallo,

sicher verläuft der Schnitt durch einen der Punkte, gell?
Heißt "gerade", dass der Schnitt sennkrecht zu einer Seite sein soll?

Mfg MIchael

cerberus08 aktiv_icon

17:48 Uhr, 28.09.2011

die Frage ist genauso gestellt wie ich sie geschrieben habe, weitere Angaben wurden nicht gemacht. Ich habe mir überlegt, dass der Schnitt durch den Punkt gehen muss, bei dem der

90

Grad Winkel ist....

michaL aktiv_icon

18:11 Uhr, 28.09.2011

Hallo,

ok, gehen wir mal vom worst case aus, d.h. dass der Schnitt nur gerade, nicht aber unbedingt im rechten Winkel erfolgt.

OBdA gehe der Schnitt durch den Punkt

C

auf die Seite

c

, den Schnittpunkt nennen wir

D

.
Dann sind die Dreiecke

△_{1} := △ A D C

und

△_{2} := △ B C D

(oder eine Umsortierung davon) ähnlich aber nicht kongruent.

Dann muss der Winkel

δ_{1}

△_{1}

bei

D

auch im Dreieck

△_{2}

vorkommen.
Annahme:

δ_{1}

und der Winkel

δ_{2}

bei

D

△_{2}

wären verschieden. Dann befinden sich drei Winkel

δ_{1}

δ_{2}

und

ε

in den beiden Dreiecken

△_{1}

und

△_{2}

, außerdem gilt

18 0^{0} = δ_{1} + δ_{2} + ε = 18 0^{0} + ε

, woraus

ε = 0^{0}

folgt. Damit sind die beiden "Dreiecke"

△_{1}

und

△_{2}

entartet (also keine richtigen Dreiecke), was im Widerspruch dazu steht, dass durch den geraden Schnitt wieder zwei Dreiecke entstehen.
Also muss

δ_{1} = δ_{2} = 9 0^{0}

gelten, der Schnitt also rechtwinklig auf die Seite

c

treffen.

Nun wäre der Fall möglich, dass die Winkel bei

A

und

B

im Ausgangsdreieck zusammen KEINE 90° ergäben. Daraus schließt man, dass die beiden Winkel gleich groß sein müssen, was im Endeffekt dazu führt, dass

△_{1}

und

△_{2}

kongruent sein müssen. Widerspruch zur Voraussetzung. (Das musst du mal selber machen, das ist nicht wirklich schwierig!)

Wenn du also bewiesen hast, dass die Winkel bei

A

und

B

zusammen 90° ergeben, dann bist du fertig! (Winkelsumme im Dreieck)

Mfg Michael

cerberus08 aktiv_icon

18:00 Uhr, 05.10.2011

Erstmal Danke für die Antworten und sorry für meine späte Reaktion, war krank!

Ich konnte das einigermaßen nachvollziehen, bis zu der Stelle an der gefolgert wird, dass

δ 1

und

δ 2

bei 90° haben müssen. Was mir aber jetzt noch felhlt ist der Beweis, dass

α

und

β

zusammen auch 90° ergeben müssen, bzw. dass die teilende Gerade den Winkel so teilt, dass zu

α

und bata ähnliche Winkel entstehen. Dafür noch eine Idee?

michaL aktiv_icon

20:31 Uhr, 05.10.2011

Hallo,

also, die Sache ist doch gar nicht so schwierig. Wenn die Winkel im Dreieck

△ A D C

α

δ_{1}

und

γ_{1}

heißen, die des Dreiecks

△ D C B

δ_{2}

β

und

γ_{2}

, so folgt aus der Ähnlichkeit von

△ A D C

und

△ D C B

, dass eine der folgenden sechs Kombinationen gilt:
Fall 1a:

α = δ_{2}

δ_{1} = β

(

\overset{}{\Rightarrow} γ_{1} = γ_{2}

)
Fall 1b:

α = δ_{2}

δ_{1} = γ_{2}

(

\overset{}{\Rightarrow} γ_{1} = β

)
Fall 2a:

α = β

δ_{1} = γ_{2}

(

\overset{}{\Rightarrow} γ_{1} = δ_{2}

)
Fall 2b:

α = β

δ_{1} = δ_{2}

(

\overset{}{\Rightarrow} γ_{1} = γ_{2}

)
Fall 3a:

α = γ_{2}

δ_{1} = δ_{2}

(

\overset{}{\Rightarrow} γ_{1} = β

)
Fall 3b:

α = γ_{2}

δ_{1} = β

(

\overset{}{\Rightarrow} γ_{1} = δ_{2}

)

Man kann für folgende 2 Fälle die gleiche Argumentation anwenden: Fälle 1b/3b (Warum?)
Insofern haben wir nur 5 strukturell unterschiedliche Fälle zu betrachten.
Alle die Fälle, bei denen NICHT

δ_{1} = δ_{2}

(

\overset{}{\Rightarrow} δ_{1} = δ_{2} = 9 0^{0}

) gilt, führt letztlich zu einem Widerspruch, wodurch die Fälle 1a/3b, 1b und 2a ausscheiden.

Das erläutere ich dir NOCH EINMAL an einem beliebigen Beispiel: 1b

WEsentlich ist, dass die Summe

δ_{1} + δ_{2} = 18 0^{0}

gilt. Wären also (etwa)

δ_{1} = γ_{2}

und

δ_{2} = α

, so wäre wegen der Winkelsumme im Dreieck

18 0^{0} = α + δ_{1} + γ_{1} \overset{α = δ_{2}}{=} (δ_{2} + δ_{1}) + γ_{1} \overset{δ_{1} + δ_{2} = 18 0^{0}}{=} 18 0^{0} + γ_{1}

. Daraus folgt also

γ_{1} = 0^{0}

, was bedeutet, dass es nicht wirklich eine Dreiecksteilung gibt (der Schnitt erfolgt entlang der Seite

A C

). Widerspruch.

Das sollte doch nun wirklich zu verstehen sein, oder?

Also bleiben nur die beiden Fälle, bei denen

δ_{1} = δ_{2} = 9 0^{0}

gilt (der Schnitt ist demnach senkrecht zur Seite

A B

): Fall 2b oder Fall 3a.
Davon kann nur einer von beiden gelten, sofern NICHT

α = β = 4 5^{0}

gelten.
Gilt aber

α = β = 4 5^{0}

, so sind die beiden ähnlichen Dreiecke sogar kongruent (sie enthalten beide die Höhe auf die Seite

A B

), was aber nicht sein soll.

Ähnlich verhällt es sich, wenn

α = β

(

\neq 4 5^{0}

) gilt, dann sind die Dreiecke sogar kongruent, was nicht sein darf.

Damit bleibt nur der Fall 3a:

α = γ_{2}

δ_{1} = δ_{2} = 9 0^{0}

γ_{1} = β

.
Nun rechnest du die Winkel

α + β + γ \overset{γ = γ_{1} + γ_{2}}{=} α + β + γ_{1} + γ_{2} = α + β + β + α

zusammen, das Ergebnis ist wegen Winkelsumme im Dreieck 180°. Es gilt also:

2 α + 2 β = 18 0^{0} \overset{}{\Leftrightarrow} α + β = 9 0^{0}

.
Es gilt also:

γ = γ_{1} + γ_{2} = α + β = 9 0^{0}

, d.h. das Dreieck ist rechtwinklig.

So, Komplettweg, dafür dürfen jetzt aber auch keine Fragen sein...

Mfg Michael

PS: Finde heraus, welcher Methoden sich dieser Beweis befleißigt. Die sind nämlich auf Schulniveau, d.h. von jemandem im Studentenforum Voraussetzung.

Gerd30.1 aktiv_icon

09:55 Uhr, 06.10.2011

Ohne Beschränkung der Allgemeinheit geht die Schnittlinie durch

C (γ)

. Dann sieht man sofort, dass die Teildreiecke nur dann ähnlich sein können, in

D

jeweils der Winkel

γ

liegt.
Also.

2 γ = 180^{0} \Rightarrow γ = 90^{0}

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

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