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Beweis von arcosh und arsinh

Universität / Fachhochschule

Funktionen

Tags: Areakosinus Hyperbolicus, arsinh, Umkehrfunktion

Amana83 aktiv_icon

10:34 Uhr, 27.05.2008

Hallo

Ich versuche hier gerade zu zeigen, dass

1. arcosh(x)=ln(x+sqrt(x^2-1)
und
2. arsinh(x)=ln(x+sqrt(x^2+1)

Dazu soll ich in

sinh

und

{cosh e}^{x}

durch

X

substituieren.

So weit komme ich:

für

1 . : \frac{1}{2} X + \frac{1}{2} X^{- 1} = \frac{1}{2} \cdot \frac{X^{2}}{X} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{X} =

?

für

2 . : \frac{1}{2} X - \frac{1}{2} X^{- 1} = \frac{1}{2} \cdot \frac{X^{2}}{X} - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{X} =

?

Aber wie gehts weiter? Wenn ich das auf ne brauchbare Form gebracht hätte, hätte ich die Umkehrfunktion gebildet und wäre auf Umkehrfunktion

ln (x + \sqrt{x^{2} - 1}

bzw

ln (x + \sqrt{x^{2} + 1}

gekommen, oder?

Vielen Dank schonmal
Kerstin

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Umkehrfunktion

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

anonymous

10:51 Uhr, 27.05.2008

Hallo,

ich versuch mich mal an der arsinh-Funktion:

f (x) = sinh x = \frac{e^{x} - e^{- x}}{2}

Sei nun

X = e^{x} \Rightarrow

Y = \frac{1}{2} \cdot (X + \frac{1}{X})

Nun die Variablen vertauschen (Dann gilt

Y = e^{y}!) :

X = \frac{1}{2} \cdot (Y + \frac{1}{Y})

Und nach

Y

auflösen:

X \cdot Y = \frac{1}{2} \cdot Y^{2} + \frac{1}{2}

\frac{1}{2} \cdot Y^{2} - X \cdot Y + \frac{1}{2} = 0

Y^{2} - 2 \cdot X \cdot Y + 1 = 0

Y_{1,2} = \frac{2 \cdot X \pm \sqrt{4 \cdot X^{2} - 4}}{2} = X \pm \sqrt{X^{2} - 1}

Wegen

x > 0 \Rightarrow sinh x > 0

muss dies auch für die Umkehrfunktion gelten. Somit folgt:

Y = e^{y} = x + \sqrt{x^{2} - 1}

bzw.

f^(-1)(x)=arsinh

x = ln (x + \sqrt{x^{2} - 1})

Ich hoffe, du verstehst den Rechenweg. Kleiner Tipp an denjenigen, der sich diese Aufgabe ausgedacht hat: Die Substitution ist völlig überflüssig!

Gruß, Diophant

anonymous

10:54 Uhr, 27.05.2008

Hallo,

kleiner Nachtrag:

Ich sehe gerade, dass ich in meinem Beispiel die arcosh-Funktion hergeleitet habe und nicht wie angekündigt, den Areasinus. Kleiner Vorzeichenfehler:-)

Gruß, Diophant

Amana83 aktiv_icon

11:14 Uhr, 27.05.2008

Danke für die schnelle Antwort, habe es jetzt auch für den

sinh

hinbekommen.

Kerstin

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