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Beweis zur Existenz einer Umkehrfunktion

Universität / Fachhochschule

Funktionen

Tags: Funktion, sinh und arsinh, Umkehrfunktion

anonymous

19:32 Uhr, 13.01.2010

Hallo!
Es geht um folgende Funktion:

sinh (x) := \frac{1}{2}

(exp(x) - exp(-x)).
Zu zeigen ist nun:

b)

Die Umkehrfunktion arsinh

= {sinh}^{- 1}

existiert (von

R

nach

R)

c)

arsinh:

R \to R

ist stetig und streng monoton wachsend.

Wär super, wenn mir jemand helfen könnte.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Einführung Funktionen
Umkehrfunktion

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

michaL aktiv_icon

19:38 Uhr, 13.01.2010

Hallo Verena,

hinreichend für Umkehrbarkeit ist strenge Monotonie.
Bei differenzierbaren Funktionen

f

ist

f ʹ > 0

hinreichend für strenge Monotonie.

Reicht das?

Mfg Michael

anonymous

19:41 Uhr, 13.01.2010

Mir würde das reichen, aber an der Uni haben wir "noch nicht gelernt, was eine Ableitung ist". In der Schule, klar.. Aber wir müssen das irgendwie anders lösen.
Und ich weiß leider nicht wie.

michaL aktiv_icon

19:57 Uhr, 13.01.2010

Hallo Verena,

gut gekontert. Na dann eben elementarer.

Wir zeigen, dass für

x > y

gilt:

\sinh (x) > \sinh (y)

. Wir verwenden, dass aus

x > y

e^{x} > e^{y}

folgt.

Los geht's:

\sinh (x) > \sinh (y) \overset{}{\Leftrightarrow} e^{x} - e^{- x} > e^{y} - e^{- y} ∣ \cdot e^{x} e^{y}

e^{x} e^{x} e^{y} - e^{y} > e^{x} e^{y} e^{y} - e^{x}

. Um besser gucken zu können schreiben wir für

e^{x} e^{y} = : k

k e^{x} - e^{y} > k e^{y} - e^{x}

Diese letzte Ungleichung ist aber wahr, denn:
* der erste Term ist links größer als rechts (

x > y \overset{}{\Leftrightarrow} e^{x} > e^{y}

)
* das, was abgezogen wird, ist links kleiner als rechts

Damit bewiesen:

\sinh

ist streng monoton wachsend, damit insbesondere injektiv, also umkehrbar.

Übrigens ist dann auch die Umkehrfunktion streng monoton wachsend. Stetig weiß ich nicht, auf welchem Niveau das begründet werden soll. Hängt so ein bisschen davon ab, was ihr an Sätzen dafür habt. Da

\sinh

als Differenz zweier stetiger Funktionen wieder stetig ist, ist auch seine Umkehrfunktion wieder stetig.

Mfg Michael

anonymous

20:58 Uhr, 13.01.2010

Danke :-)

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