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Beziehung zweier Geraden im Raum

Schüler Gymnasium, 12. Klassenstufe

Tags: Beziehung, beziehungen, Gerade, Geradengleichung, Lagebeziehung, vektorbeziehung, Vektoren, Vektorrechnung

slim2crazy-Basti aktiv_icon

15:49 Uhr, 28.02.2009

Hallo,
ich schreibe am Donnerstag eine 3-Stündige Mathematik Klausur und hab da noch einige fragen. Zu erst mal was zu den Hausaufgaben:

Aufgabe: Gibt es für die Variablen

a, b, c

und

d

Zahlen, sodass

g : x = (1 | a | 2) + r (b | 3 | 4)

und

h : x = (c | 0 | 3) + s (3 | 1 | d)

a)

identisch sind

b)

zueinander parallel oder verschieden sind

c)

sich schneiden

d)

zueinander windschief sind.

Meine Idee: Ich habe beide Geradengleichungen erstmal gleich 0 gesetzt und geschaut was passiert. für die gerade

g

kam ich auf

r = 0,5

und für

h

auf

s = 0

. Daraus hab ich dann geschlussfolgert, dass die geraden nicht linear abhängig sind.

Somit sind schon 2 Möglichkeiten(a und

b)

ausgeschlossen. Danach habe ich die Gleichungen gleichgesetzt und alle werte auf eine Seite gebracht. hierbei kam ich auf einen wert

r = (s - a)

div

3 (

das Forum hat irgendwie ein prob mit dem geteilt Zeichen :-P) ) Damit weiterzurechnen wäre allerdings recht mühselig und deshalb wollte ich erstmal fragen, ob mein Ansatz bis hierher richtig ist oder ob ich schon irgendwo nen Fehler auch im Bezug auf die Aufgabenstellung eingebaut habe. In jedem Falle wüsste ich gern, was ich idealerweise machen sollte um weiter zukommen :-)

mfg Sebastian

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ebene Geometrie - Einführung
Geraden im Raum
Grundbegriffe der ebenen Geometrie
Lagebeziehung Ebene - Ebene
Lagebeziehung Gerade - Ebene (in Normalenform)

Ebene Geometrie - Einführung
Geraden im Raum
Grundbegriffe der ebenen Geometrie
Lagebeziehung Ebene - Ebene

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Akonia

16:21 Uhr, 28.02.2009

musst du nur sagen ob es zahlen gäbe, oder musst du sie auch bestimmen?

was heißt bei

b)

zueinander verschieden sein? das sagt mir nichts

(2

windschiefe geraden sind doch auch verschieden???)

zu identisch,parallel, schneiden und windschief gibt es zahlen.

sollst du auch zahlen nennen, oder reicht es, dass es welche gäbe...?

slim2crazy-Basti aktiv_icon

16:34 Uhr, 28.02.2009

ich vermute(!),dass wir die Zahlen, so es denn welche gibt auch angeben sollen. Allerdings wüsste ich gerne mal den weg, wie du auf die Zahlen kommst^^ Mit verschieden ist vermutlich einfach eine Verschiebung gemeint oder auch vektoren, die in versch. Richtungen weisen. Allerdings würde ich diesen Punkt ausen vor lassen und mich bei

b

nur auf die Paralellität beschränken.

danke für die schnelle Antwort
mfg Basti

Akonia

17:00 Uhr, 28.02.2009

(wenn etwas im folgenden unklar sein sollte, mach dir ne kleine skizze, oft hilft das weiter)
BITTE alles nochmal nachrechnen...^^

also erstmal zu

a)

g

und

h

sollen identisch sein,

d . h

. ja dass der richtungsvektor der beiden geraden gleich ist (bzw der eine ist ein vielfaches des anderen):

(b | 3 | 4) = y \cdot (3 | 1 | d)

(y

ist irgendein faktor, damit der eine vektor ein vielfaches des anderen ist)
an hand der 2ten koordinate kannst du

y = 3

bestimmen.

da nun

y

bekannt ist, kannst du auch

b

und

d

berechnen

[b = 9; d = \frac{4}{3}] .

damit

g

und

h

IDENTISCH sind muss,

b = 9

und

d = \frac{4}{3}

sein.

AUßERDEM muss auch noch der aufpunkt von

h

auf

g

liegen (bzw umgekehrt)

(c | 0 | 3)

soll auf

g

liegen:

(c | 0 | 3) = (1 | a | 2) + r \cdot (9 | 3 | 4)

gleichungssystem lösen

[a = - \frac{3}{4}; c = \frac{13}{4}]

\to

für

a = - \frac{3}{4}; b = 9; c = \frac{13}{4}; d = \frac{4}{3}

sind

g

und

h

IDENTISCH.

b)

parallel, sind die parallel, müssen die richtungsvektoren wieder vielfache sein, also

b = 9; d = \frac{4}{3}

nun reicht es a oder

c

zu verändern.
nimm zB

a = 0; c = 0

das lässt sich leicht testen dass die wirklich parallel sind.

->bei

a = 0; b = 9; c = 0; d = \frac{4}{3}

sind

g

und

h

parallel.

c)schneiden und windschief ist nicht mehr ganz so einfach.

wenn sie sich schneiden, sind die richtungsvektoren nicht mehr gleich!

desweiteren würde ich da die determinante zu hilfe nehmen

det(GH,u,v)=3cd-3d+b-12a-4c-5+abd
(GH:verbindungsvektor der aufpunkte,

u

richtungsvektor von

g, v

richtungsvektor von

h)

wenn die determinante NULL ist, sind die geraden identisch,parallel ODER schneiden sich.

ich wähle willkürlich 3 der 4 zahlen.

b = 9 (d

darf jetzt nicht mehr

\frac{4}{3}

sein, da sonst die richtungsvektoren parallel wären)

d = 2

c = 1

die nun in die determinante einsetzen:
3cd-3d+b-12a-4c-5+abd=6-6+9-4-5+18a=18a

da wir wollen dass sich

g

und

h

schneiden muss die determinante 0 sein.

18 a = 0

a = 0

\to

da wir identisch und parallel ausschließen können

(b

und

d

geben keine gleichen richtungsvektoren), schneiden sich

g

und

h

wenn:a=0,b=9,c=1,d=2

d)

windschief.
sind die geraden windschief, dann wird die determinante nicht

0 .

nehme zahlen von oben:

18 a \neq 0

a \neq 0

a = 1

\to

wenn:

a = 1; b = 9, c = 1; d = 2

dann sind

g

und

h

windschief.

das ist immerhin eine methode die zahlen zu bestimmen, eine bessere fällt mir nicht ein.

slim2crazy-Basti aktiv_icon

17:36 Uhr, 28.02.2009

Vielen Dank erstmal.
Die Teile a und

b

hab ich verstanden, jedoch was bei

c

und

d

mit einer determinanten gemeint ist, weis ich nicht. Hab davon noch nie etwas gehört.
Dann würd ich gerne noch wissen, ob du bei

c

und

d

einen weg siehst, wie mand as mit linearer abhängigkeit und anschließendem Gleichsetzen herausbekommen könnte.

mfg Basti

slim2crazy-Basti aktiv_icon

18:20 Uhr, 28.02.2009

Ich hab mir zur

c

nochmal ein paar gedanken gemacht:
Als Schnittpunkt habe ich den Stützvektor festgelegt. Das heist, ich konnte die beiden Stützvektoren gleichsetzen, woraus sich für

a o

und für

c 1.5

ergab. Anschließend habe ich eine Ungleichung aus den beiden Ortsvektoren gebildet wobei rauskam, dass

b = 9,

dann

d

ungleich

\frac{3}{4}

und wenn

d = \frac{3}{4},

dann

b

ungleich 9. Wobei ich zweifel an meinem Rechenweg habe:

(b | 3 | 4)

ungleich

v \cdot (3 | 1 | d)

\Rightarrow b

ungleich

3 v

3 ungleich

v

(hab mit

v = 3

weitergerechnet und die anderen Ungleichungen gelöst.
4 ungleich vd

Astor aktiv_icon

18:52 Uhr, 28.02.2009

Hallo,
es geht doch nur darum, dass du zeigst wann zwei Geraden identisch, parallel, sich schneiden, windschief sind.
Übrigens: Geraden können nicht linear abhängig sein. Diesen Begriff gibt es nur für Vektoren.
Noch was. Was soll das bedeuten: "Ich habe die Geraden gleich 0 gesetzt"?
Gruß Astor

slim2crazy-Basti aktiv_icon

19:01 Uhr, 28.02.2009

Mein oben genannter Lösungsansatz hat sich bereits als falsch erwiesen.
Selbst wenn ich "nur" sagen soll, wann die geraden windschief sind bzw einen schnittpunkt haben, so habe ich keine ahnung was damit gemeint ist.

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