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Chinesischer Restsatz Isomorphismus

Universität / Fachhochschule

Gruppen

Tags: chinesischer Restsatz, Gruppen, Isomoprhimus, modulo, Restklasse

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22:28 Uhr, 10.12.2019

Guten Abend, wir sollen folgende Aufgabe bearbeiten:

Zeigen Sie: Sind

a, b

∈

ℤ

mit

a, b

≥ 1 und ggT

(a, b) = 1,

dann ist

Z \ (a \cdot b) \to Z \ a

Z \ b

\bar{x} \mapsto (\bar{x}, \bar{x})

ein Isomorphismus. Hinweis: Chinesischer Restsatz.

Ich weiß zwar, dass man um einen Isomorphimus zu zeigen, erst Homomorphismus zeigen muss:

φ (g_{1} \circ g_{2}) = φ (g_{1}) \circ φ (g_{2})

und dann bijektivität, allerdings weiß ich garnicht wie ich das hier angehen soll.

LG

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

michaL aktiv_icon

22:45 Uhr, 10.12.2019

Hallo,

melde dich bitte erst bei den beiden vorherigen Fäden zurück, die du aufgemacht hast:
www.onlinemathe.de/forum/Gruppeneigenschaften-zeigen
www.onlinemathe.de/forum/lim-1bn-0-bn-divergiert-nicht-gg-unendlich

Mfg Michael

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22:56 Uhr, 10.12.2019

Habe ich gemacht... tut mir leid habe ganz vergessen eine Rückmeldung zu geben.
LG

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23:04 Uhr, 10.12.2019

Ich habe jetzt den Ansatz, zunächst zu zeigen, dass wir es hier mit einem Homomorphismus zu tun haben. Das ist ja schon fast trivial, da gilt:
Sei

x \in ℤ

x mod (a \cdot b) \to x mod a \times x mod b

Ist das so korrekt oder muss man das noch genauer zeigen?

michaL aktiv_icon

08:23 Uhr, 11.12.2019

Hallo,

ok, die Abbildung

φ : {\begin{array}{rcl} ℤ / (a b) & \to & ℤ / (a) \times ℤ / (b) \\ \overline{x} & \mapsto & (\overline{x}, \overline{x}) \end{array}

ist noch nicht einmal gesichert eine Abbildung.
Denn: Sie wird definiert auf Restklassen (

\overline{x}

, zu der ja auch beispielsweise

x + a b

gehört) unter Rückgriff auf einen (!) Vertreter.
Zuerst musst du dir klar machen, dass dieses Ding das Wort Abbildung auch verdient, d.h. dass bei Nutzung VERSCHIEDENER Vertreter

x

bzw

y

der GLEICHEN Restklasse

\overline{x} = \overline{y}

das GLEICHE Abbild

(\overline{x}, \overline{x}) = (\overline{y}, \overline{y})

liefert.
Dabei ist zu berücksichtigen, dass die Schreibweise

\overline{.}

an verschiedenen Stellen zu unterschiedlichen Moduln gehört.
In

\overline{x} \mapsto (\overline{x}, \overline{x})

ist vor der Abbildung die Restklasse modulo

a b

bemeint, dahinter in der Klammer zunächst modulo

a

, dann modulo

b

.
Vielleicht macht es die Sache (von der Schreibweise her zwar umständlicher) eindeutig(er), wenn du

[x]_{a b} \mapsto ([x]_{a}, [x_{b}])

schriebest.

Um es deutlich zu machen: Folgen denn aus

[x]_{a b} = [y]_{a b}

schon

[x]_{a} = [y]_{a}

und

[x]_{b} = [y]_{b}

.
Erst wenn das geklärt ist, macht diese Abbildung überhaupt Sinn.
Übrigens nennt man dies Wohldefiniertheit.

Danach kümmern wir uns darum, ob die Abbildung ein Homomorphismus ist.
Und erst danach kümmern wir uns um die Bijektivität. (Ist zumindest mein Vorschlag.)

Mfg Michael

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11:42 Uhr, 11.12.2019

Hallo Michael, danke schonmal für deine Antort; das mit der Wohldefiniertheit hatte ich tatsächlich garnicht auf dem Schirm. Wie kann ich das denn am geschicktesten zeigen? Ich habe damit leider noch kaum Erfahrung.

LG

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11:51 Uhr, 11.12.2019

Hallo,

deswegen habe ich so viel geschrieben.
Fangen wir umgekehrt an.
Habt ihr nicht eine Darstellung für alle Elemente einer Restklasse?
So etwas wie

[x]_{a b} = {\dots}

?

Das bräuchten wir (so oder so).

Mfg Michael

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12:05 Uhr, 11.12.2019

Wir haben das so notiert:

ℤ \ n = {\bar{1}, \bar{2}, ..., \bar{n - 1}}

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12:18 Uhr, 11.12.2019

Hallo,

ok, ich weiß was 1 ist. Was ist

\overline{1}

?

Mfg Michael

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12:21 Uhr, 11.12.2019

Einer der möglichen Reste modulo n?

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12:28 Uhr, 11.12.2019

Hallo,

ja.

Du scheinst nicht zu verstehen. Mathematik ist eine exakte Wissenschaft. Deine Aussage ist wenig mathematisch, wenig formal.
Die ersten Übungen sind eigentlich aber genau dazu da, euch den Formalismus näher zu bringen.
Ja, der erfordert Abstraktionsvermögen, ist aber der Grund für die Exaktheit der Mathematik. Ohne Formalismus wäre Mathematik eher so wie Medizin: könnte nutzen, vielleicht aber auch nicht.

Insofern: Schlag nach einer (formalen) Definition über die Restklassenelemente nach. Die brauchst du ohnehin, da sich der Beweis darauf stützt (stützen muss.)

Mfg Michael

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12:36 Uhr, 11.12.2019

Danke für deine Geduld... ich bin mit den ganzen Formalitäten noch sehr überfordert, da sich das ja schon extrem von Schulmathematik unterscheidet.
Naja ich habe jetzt folgende Definition gefunden (willst du darauf hinaus?):

\bar{a} = {b

∈

ℤ

∣

a \equiv b mod m}

= {a + k

⋅

m

∣

k

∈

ℤ}

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12:39 Uhr, 11.12.2019

Hallo,

na, damit können wir doch etwas anfangen...

Du musst nun für (eventuell verschiedene)

x, y \in \overline{x}

zeigen, dass die daraus generierten Bilder trotzdem gleich sind.

(Ja, ich spreche in "unformal", da du ja üben sollst, das zu formalisieren.)

Mfg Michael

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12:50 Uhr, 11.12.2019

Dann probiere ich mal mein Glück...
Seien

x, y \in \bar{a},

dann gilt:

\bar{a} = {x, y \in ℤ | a \equiv x mod m \land a \equiv y mod m}

= {x + k \cdot m \land y + k \cdot m | k \in ℤ}

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13:00 Uhr, 11.12.2019

Hallo,

äh, nein, so gar nicht.

Vielmehr geht das so: Sei

y \equiv x

mod

a b

, d.h. es gilt

y = x + k \cdot a b

für ein

k \in ℤ

.

Es stellt sich nun die Frage, ob

y \equiv x

auch sowohl mod

a

als auch mod

b

gilt.

Wegen

y = x + k \cdot a b

, kann man

y = x + (k \cdot a) \cdot b

schließen, d.h.

y \equiv x

mod

b

.

Schreibt man das allerdings als

y = x + (k \cdot) \cdot a

, so sieht man

y \equiv x

mod

a

.

Damit klar:

y \in \overline{x} \Rightarrow φ (\overline{y}) = φ (\overline{x})

, d.h.

φ

ist wohldefiniert.

So, jetzt verstehen, dann Homomorphismus!

Mfg Michael

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13:07 Uhr, 11.12.2019

wow okay darauf wäre ich niemals gekommen. Ich muss wohl noch einiges feilen an meinem Grunverständnis

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13:33 Uhr, 11.12.2019

Kann ich den Homomorphismus jetzt so zeigen, bzw. ist das überhaupt notwendig?

ker(phi)

= {k \in ℤ | φ (k) = (0 mod a, 0 mod b)}

= {k \in ℤ | a | k \land b | k}

= {k \in ℤ |

ab|k ,da a und

b

teilerfremd

}

= ℤ

\(a*b)

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14:27 Uhr, 11.12.2019

Hallo,

nein. Du musst euer(!) Axiom für einen Homomorphismus prüfen. Vielleicht gibst du das hier einmal an. Dann wird es vermutlich notwendig sein, dieses Axiom zu transkribieren, damit es exakt auf die Aufgabenstellung passt. Das gelernte Axiom enthält nämlich üblicherweise noch Platzhalter und passt insofern nicht auf die Aufgabenstellung.
Nach der Transkiption hast du eine Gleichung oder - allgemeiner - eine mathematische Aussage. Deren Wahrheitsgehalt musst du prüfen.
Dieser Vorgang ist - sehr allgemein gesprochen - das, was man tun muss, um ein Axiom als gültig in einem Kontext anzusehen.

Mfg Michael

PS: Habt ihr schon den Homomorphisatz (für Gruppen)?

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14:37 Uhr, 11.12.2019

Alles klar unser Axiom ist: